算法导论随笔(一): 操作计数与复杂度Big（O）

本文主要是介绍算法导论随笔(一): 操作计数与复杂度Big（O），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

最近有点空闲时间，准备开一个新坑来纪录自己读《算法导论》的一些读书笔记，有时间的话也讨论一些有趣的算法。首先来谈谈程序的操作计数与算法的复杂度计算，也就是我们常听说的大O。对于新手程序员来说，“算法”这个概念可能看上去比较高深，尤其是“复杂度”这个概念，有时会让人一头雾水。不过看了这篇文章后，相信大家对算法和复杂度的概念会有一个更直观的了解，即使是只会初中数学，也完全可以看懂。

1. 复杂度的概念

对算法有一定了解的朋友们都知道，判断一个算法好坏的方法是看一个算法的复杂度。这里我们所说的复杂度主要是指时间复杂度(Time complexity)。复杂度越低，代表这个算法越好；相反复杂度越高，代表算法越一般。比如准备面试时可能经常会提到的排序算法，举两个例子来说，最经典的冒泡排序（Bubble sort）的复杂度是
$O(n^2)$
而《算法导论》里提到的归并排序(Merge Sort)的复杂度是
$O (n l o g n)$
我们可以看出，两个算法的复杂度不一样。从复杂度的角度来看，归并排序的复杂度低于冒泡排序的复杂度，因此归并排序的算法要好于冒泡排序的算法。也许有人要问，这个大写的字母O是什么意思，为什么通过比较这两个表达式就确定归并排序要好于冒泡排序呢？别急，往下看。对于一个算法，或者一段程序，我们是有办法计算出它的复杂度的，而大O就是这段计算的一个标准。在介绍大O之前，我们先引入一个概念，叫做Operation Counting，翻译成中文就是“操作计数”。

2. 操作计数(Operation Counting)

直观上来讲，判断一个算法的好坏很简单，就是去看这个算法的执行时间就好了，对于同样的输入，计算出正确结果的时间越短，代表算法更好。一个计算机的每个CPU或内存操作都会耗费一定时间，这些操作（读内存，写内存等等）的时间并不是固定的，计算机的性能越好，操作的时间就越短。那么就存在一个问题，如何在判断算法好坏的时候排除这些变量因素。这也就是为什么要有操作计数这个概念。对于任何一个程序，我们把这个程序里的基本操作(primitive operation)分成以下几个类型：

在这里插入图片描述
翻译：

赋值给一个变量。比如：int x = 1;
调用一个函数。比如我们有一个函数int sum(){return x + y;}, 那么sum(2, 3); 这条语句就是调用了一个函数。
进行一个算术运算，比如 x + y;
比较两个数字，比如 (x > y);
调用数组下标，比如array[0];
获取一个对象的引用
从函数(或方法)中返回

对于以上的所有7种基本操作，我们认为它们消耗一个单位的运行时间。也就是说，对于int x=1;我们为这行代码计数1。对于int x = y + z;我们为这行代码计数2，因为它既进行了算术运算，又把结果赋值给了变量x，所以有两个基本操作，即为消耗2个单位的时间。

有了以上的7个基本操作，我们就可以计算出一个程序运行需要消耗的单位时间。比如下面这段代码，它求出了给定数组中的最大值：

int arrayMax(int []A){int max = A[0];for(int i=1; i<A.length; i++){if(max < A[i])max = A[i];} return max;  
}

我们可以计算一下这段程序最多需要消耗多少个单位的运行时间。在最坏的情况下，数组是从小到大排列好的，这样第5行中的max = A[i]每走一次循环时都要被执行到。我们假设数组A中有n个元素，那么第三行中的for循环的条件i<A.length要执行多少次呢？答案是要执行n次。例如，当n=5时，i的数值为1, 2, 3, 4, 5。当i等于5时，程序跳出循环。因此，for循环里面的代码要执行(n-1)次。我们把程序稍微修改一下，就可以直观地看出程序一共需要消耗的操作。

int arrayMax(int []A){int max = A[0];  //count = 2int i = 1; //count = 1for(;i<A.length;){  //count = 1 * n if(max < A[i]) //count = 2 * (n - 1)max = A[i];  //count = 2 * (n - 1)i++;//别忘了当前循环结束后，i自增的操作，i = i + 1, 消耗时间为2//count = 2 * (n - 1)