基于R语言实现的beta二项回归模型【理解与实现】

2024-04-15 07:36

本文主要是介绍基于R语言实现的beta二项回归模型【理解与实现】,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

本实验,创建一组使用二项分布模拟的数据(不带额外的随机性),和另一组使用Beta二项分布模拟的数据(引入了随机成功概率 p,从而增加了数据的离散性。

现在假设我们站在上帝视角,有两组不知道分布的数据。

一、如何理解:“观察到的方差大于二项分布预期的方差”

1.生成二项分布数据(不带额外的随机性)

set.seed(123)  # 确保结果可重现
n <- 100  # 样本大小
p_fixed <- 0.5  # 固定的成功概率
trials <- 100  # 每次试验的总次数# 生成数据
binomial_data <- rbinom(n, trials, p_fixed)

2. 生成Beta二项分布数据(引入随机性的成功概率)

# Beta分布参数
alpha <- 2
beta <- 5# 生成成功概率
p_random <- rbeta(n, alpha, beta)# 使用Beta生成的成功概率生成数据
beta_binomial_data <- rbinom(n, trials, p_random)

3. 计算并比较两组数据的方差

# 计算实际方差
var_binomial <- var(binomial_data)
var_beta_binomial <- var(beta_binomial_data)# 计算二项分布预期的方差
expected_var_binomial <- trials * p_fixed * (1 - p_fixed)# 打印结果
print(paste("方差 - 二项分布数据:", var_binomial))
print(paste("方差 - Beta二项分布数据:", var_beta_binomial))
print(paste("预期方差 - 标准二项分布:", expected_var_binomial))

你会发现Beta二项分布数据的方差通常会大于二项分布数据的方差,因为Beta二项分布引入的成功概率的随机性增加了数据的离散性。同时,你也会发现这个方差大于标准二项分布预期的方差,这正是我们需要使用Beta二项模型的原因。

4.可视化

# 加载必要的库
library(ggplot2)# 创建数据框
df <- data.frame(Data_Type = c(rep("Binomial", length(binomial_data)), rep("Beta-Binomial", length(beta_binomial_data))),Count = c(binomial_data, beta_binomial_data)
)# 绘制直方图
ggplot(df, aes(x = Count, fill = Data_Type)) +geom_histogram(position = "identity", alpha = 0.7, bins = 20) +labs(title = "Histogram of Binomial vs Beta-Binomial Data",x = "Count", y = "Frequency") +theme_minimal()

在这里插入图片描述
从直方图可以看出,Beta-Binomial 数据的分布更加广泛,呈现出更大的离散性,相比之下,Binomial 数据更加集中。这符合我们的预期,因为Beta-Binomial 数据引入了成功概率的随机性,增加了数据的变异性。

二、使用Beta二项分布模型主要涉及数据的拟合与分析过程

解释 VAGM

1.完整代码

# 加载必要的库
if (!require("VGAM")) install.packages("VGAM", dependencies = TRUE)
library(VGAM)# 生成模拟数据
set.seed(123)  # 设置随机数种子以确保结果可重现
n <- 100  # 样本大小
alpha <- 2  # Beta分布参数α
beta <- 5   # Beta分布参数β
trials <- sample(10:100, n, replace = TRUE)  # 每个观察的试验次数
p <- rbeta(n, alpha, beta)  # 从Beta分布生成成功概率
success <- rbinom(n, trials, p)  # 生成成功次数data <- data.frame(success = success, trials = trials, predictor1 = rnorm(n), predictor2 = runif(n))# 拟合Beta二项回归模型
model <- vglm(cbind(success, trials - success) ~ predictor1 + predictor2, family = betabinomial(link = "logit"), data = data)# 查看模型摘要
summary(model)# 模型诊断
par(mfrow = c(2, 2))
plot(model)# 模型预测
new_data <- data.frame(predictor1 = c(0, 1), predictor2 = c(0.5, 0.5))
predictions <- predict(model, newdata = new_data, type = "response")
print(predictions)

导出结果解释

1.数据的形式

在这里插入图片描述
响应变量:成功次数和失败次数(Trials-success),
预测变量:predictor1 & predictor2

2.model 拟合结果

在这里插入图片描述
注意:
当我们拟合Beta二项分布时,模型实际上是在估计两个参数:成功概率p 的平均值和分布的离散程度。由于Beta分布是由两个参数控制的,这两个参数通常用不同的链接函数进行转换。
在这种情况下,每个链接函数可能有自己的截距,因此输出中显示了两个截距。

(Intercept):1 — 通常代表与成功概率 p 相关的截距项。
(Intercept):2 — 代表与Beta分布的离散参数相关的截距项。
忽略 参数的显著性

3.模型诊断

在这里插入图片描述
模型诊断图是统计建模中的一个重要组成部分,它们可以帮助我们识别模型中的问题,比如不符合假设的数据、异常值或模型拟合不良。
总体上:

从这些诊断图来看,模型似乎没有表现出明显的拟合问题。残差分布比较均匀,没有明显的模式,也没有迹象显示数据点有不适当的杠杆效应。
具体地:

  • Pearson残差 vs. 线性预测器1:
    这个图显示了每个观测值的Pearson残差与第一个预测变量的线性预测值的关系。理想情况下,这些点应该随机分布,没有明显的模式。从图中看,残差似乎随着预测值的增加而稍微减小,但没有明显的趋势,。然而,这里没有强烈的模式或明显的异常值。

  • Pearson残差 vs. Jittered线性预测器2:
    “Jittered”意味着在横轴的值上添加了一点随机噪声,以避免重叠点。这个图表应该类似于第一个图表,展示残差和第二个预测变量的关系。残差似乎在预测器2的中间范围内聚集得更紧密,这可能表明在这个范围内模型预测更准确。

  • Pearson残差 vs. hat值(Linear Predictor 1):
    帽子值(也称为杠杆值)度量了每个观测值对其自身预测值的影响程度。较高的hat值可能表明一个观测值具有较高的杠杆作用,可能是一个影响模型的异常值。图中hat值较高的点不多,意味着没有单个观测值对模型有过度影响。

  • Pearson残差 vs. hat值(Linear Predictor 2):
    这个图展示的是第二个预测变量的值。同样,我们希望没有观测值有过大的hat值。大多数观测值似乎有低到中等的hat值,没有迹象表明有单个观测对模型有过度影响。

模型预测

在这里插入图片描述

# 2.代码解释

解释代码
生成模拟数据:使用Beta分布参数 α=2 和 β=5 来模拟真实的成功概率 p。
为每个观察生成一个试验次数,并基于模拟的 p 生成成功次数。
拟合模型:
使用vglm函数从VGAM包拟合Beta二项模型,其中响应变量是成功和失败的次数,解释变量是predictor1predictor2
查看和解释模型摘要:
调用summary()函数来获取模型的详细输出,包括估计的参数和它们的统计显著性。
模型诊断:

使用plot()函数生成模型的诊断图,这有助于检查任何潜在的问题,如拟合不良或异常值。
模型预测:

对新的观察数据(在new_data中定义)进行预测,以展示模型如何应用于实际数据

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