三维网格去噪算法（L0范数最小化，包含二维图像去噪）

本文主要是介绍三维网格去噪算法（L0范数最小化，包含二维图像去噪），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

参考文章(技术来源)：Mesh denoising via L0 minimization

上面参考文章提出了一种基于L0范数最小化的三角网格去噪算法。该思想由二维图像平滑引申而来，所以先从基于L0范数最小化的二维图像平滑的原理入手，来一步步讲解。

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一. 基于L0范数最小化的二维图像平滑

1. 目的
(1) 去噪后得到的输出(out)图像尽可能接近原图(不要损失边缘，纹理等细节信息)；

(2) 图像平滑(去噪)。

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2. 针对1的分析
(1) 衡量out图与原图的误差函数：

目标：最小化误差函数 —— $min_c|c-c^*|^2$

(2) 图像平滑
引入L0范数 —— 可理解为“集合的非零个数”

$|\bigtriangledown c|_{0}$：越大，图像细节纹理越清晰；越小，细节纹理越模糊。

目标：$min_c|\bigtriangledown c|_{0}$ —— 使$|\bigtriangledown c|_{0}$尽量小，可实现图像平滑

注意：(1)与(2)是对立关系。

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3. 本问题的目标函数
结合2中的(1)和(2)，形成了本问题的目标函数：
$min_c|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0}$
即最小化$|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0}$

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4. 引入正则化参数$\lambda$
目标函数中，(1)(2)两部分是对立的，$|c-c^*|^2$小(out图接近原图)，则$|\bigtriangledown c|_{0}$大。那么，如何找到最优解实现$min_c|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0}$ ?

我们来引入正则化参数(常量)$\lambda$来平衡(1)(2)两部分的比重，目标函数：
$min_c|c-c^*|^2+\lambda|\bigtriangledown c|_{0}$

• $\lambda$大，则(2)最小化比重大，应尽量使$|\bigtriangledown c|_{0}$最小化；
• $\lambda$小，则(1)最小化比重大，应尽量使$|c-c^*|^2$最小化；
• 所以$\lambda$能控制out图像的平滑程度。

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5. 引入辅助变量$\delta$
4中的目标函数存在无法凸优化问题，引入辅助变量$\delta$，目标函数：
$min_{c,\delta }|c-c^*|^2+\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}$

我想，引入(2)的目的是因为：我们要找目标函数的最优解，而L0范数($\lambda|\bigtriangledown c|_{0}$)不可导，使得全局最优问题成为一个NP(非确定性，数学难题)难问题。所以这里使用变量分裂法，分裂出(2)这个二次函数(因为二次函数都可以求导，得到其最小值)。

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6. 开始优化

- 第1步：固定c优化$\delta$，即：$min_\delta\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}$

• 第2步：固定$\delta$优化c，即：$min_c|c-c^*|^2+\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}$

• 循环迭代以上两步，每次迭代中$\beta$乘以2(使(2)占得比重大，使得最终$\triangledown c\approx\delta$)。

二. 将以上思想应用于三角网格去噪

1. 目标函数
$min_{p,\delta }|p-p^*|^2+\beta \left | \ D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}$
分析：

关于D(e)：

但是当有角度接近0时，微分算子的权重会变成inf，因此文章又提出了一种优化后的微分算子表达式：

微分算子D(e)中的符号说明：

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2. 引入正则化项R(p)
对于非均匀噪声网络，应用1中的目标函数模型得到结果：

所以在优化过程又加入了一个正则化项：$R(p)=(p_{1}-p_{2}+p_{3}-p_{4})^{2}$

于是目标函数变为：$min_{p,\delta }|p-p^*|^2+\alpha\left | R(p) \right |^{2}+\beta \left | \ D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}$

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3. 优化过程仍分为两步

• 第1步：固定p优化$\delta$，即：$min_{\delta }\beta \left | D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda \left | \delta \right |_{0}$

  有一个限定条件：$\sqrt{\frac{\lambda }{\beta }}>D_{i},\delta

• 第2步：固定$\delta$优化p，即：$min_{p}\left | p-p^{*} \right |^{2}+\alpha \left | R(p) \right |^{2}+\beta \left | D(p)-\delta \right |^{2}$
  相当于求解稀疏矩阵方程组

• 然后循环迭代上述2个步骤直到达到预定条件。

  • 开始$\beta=10^{-3}$，每次$\beta \rightarrow \mu \beta$ ，$\mu$越大棱角越分明，直到$\beta \geq 10^{3}$

  • $\alpha \rightarrow \frac{1}{2}\alpha$

这篇关于三维网格去噪算法（L0范数最小化，包含二维图像去噪）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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