每日算法打卡:地宫取宝 day 16

2024-01-17 16:44

本文主要是介绍每日算法打卡:地宫取宝 day 16,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

    • 原题链接
    • 题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例1:
        • 输出样例1:
        • 输入样例2:
        • 输出样例2:
    • 题目分析
    • 示例代码

原题链接

1212. 地宫取宝

题目难度:中等

题目来源:第五届蓝桥杯省赛C++ A/B/C组,第五届蓝桥杯省赛Java B/C组

题目描述

X 国王有一个地宫宝库,是 n × m n \times m n×m 个格子的矩阵,每个格子放一件宝贝,每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角,出口在右下角。

小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。

当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是 k k k 件,则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这 k k k 件宝贝。

输入格式

第一行 3 个整数, n , m , k n,m,k n,m,k,含义见题目描述。

接下来 n n n 行,每行有 m 个整数 C i C_i Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数,表示正好取 k k k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大,输出它对 1000000007 1000000007 1000000007 取模的结果。

数据范围

1 ≤ n , m ≤ 50 1 \le n,m \le 50 1n,m50,
1 ≤ k ≤ 12 1 \le k \le 12 1k12,
0 ≤ C i ≤ 12 0 \le C_i \le 12 0Ci12

输入样例1:
2 2 2
1 2
2 1 
输出样例1:
2 
输入样例2:
2 3 2
1 2 3
2 1 5 
输出样例2:
14 

题目分析

这道题和之前的摘花生的题目是十分类似,其实就是一个扩展与限制,这里有一个限制就是需要以严格递增的顺序拿,另一个限制就是最后拿到的数量必须是k件

我们仍然是采用集合的DP思想,对于集合 f ( i , j , k , c ) f(i,j,k,c) f(i,j,k,c)这里的i,j表示当前的坐标,k表示当前取到了多少个,c表示取到物品的数值,确保其是递增的。他的意思就是,从七点走到i,j取了k件物品,最后一个物品的价值是c的所有合法方案的集合

对于这个集合如何进行状态计算,就是如何进行状态划分,因为这个题目的状态非常多,就需要逐步分析,就像剥洋葱一样,一层一层细分,第一层是按照位置分,分别从上向下走和从左向右走两种,第二层是按照第i,j个物品是否取得划分,那么对于取的情况下,对于每一个上一个物品的数值是多少再次进行划分

我们逐步分析每一种情况的状态计算具体是什么

对于从上往下的不取的情况 f ( i , j , k , c ) = f ( i − 1 , j , k , c ) f(i,j,k,c)=f(i-1,j,k,c) f(i,j,k,c)=f(i1,j,k,c)因为不取,所以对k和c没有任何影响,对于从左往右的情况也是相同的

对于取的情况来说,他需要满足在取的时候这个位置上的权值必定为c,因为在取之后c一定是之前所有取到的数值的最大值

这个问题我们需要考虑一下边界的初始化问题,起点有两种情况,第一种就是选择第一个位置的数字 f ( 1 , 1 , 1 , w ( 1 , 1 ) = 1 f(1,1,1,w(1,1)=1 f(1,1,1,w(1,1)=1,如果不选择第一个位置的数字就是 f ( 1 , 1 , 0 , − 1 ) = 1 f(1,1,0,-1) = 1 f(1,1,0,1)=1当然这里的-1是不合法的,我们可以给所有的权值加1即可

示例代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N = 55,MOD=1000000007;int n,m,k;
int w[N][N];
int f[N][N][13][14];int main()
{cin>>n>>m>>k;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>w[i][j];w[i][j]++;}}// 初始化f[1][1][1][w[1][1]] = 1; // 表示选择第一个数,是一类方案f[1][1][0][0] = 1; // 表示不选第一个数,是一类方案for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i==1&&j==1) continue; // 表示1,1位置已经初始化过了for(int u=0;u<=k;u++){for(int v=0;v<=13;v++){int &val = f[i][j][u][v]; // 起别名方便表示val = (val+f[i-1][j][u][v])%MOD; // 表示不选择这个数val = (val+f[i][j-1][u][v])%MOD;if(u>0&&v==w[i][j]) // 如果选择{for(int c=0;c<v;c++){val = (val + f[i-1][j][u-1][c])%MOD;val = (val + f[i][j-1][u-1][c])%MOD;}}}}}}int ans = 0;for(int i=0;i<=13;i++) ans = (ans + f[n][m][k][i])%MOD;cout<<ans<<'\n';return 0;
}

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