磁共振并行成像方法--从SMASH到GRAPPA（1）

Part1：SMASH

基于K空间的磁共振并行成像是利用多通道的相控阵列线圈，采集部分k空间数据结合线圈的敏感度信息，对未采集的K空间数据进行估计，从而组合成全采样的K空间数据。在K空间域的并行重建的典型方法有SMASH、AUTO-SMASH、VD-ATUO-SAMSH 以及目前普遍使用的GRAPPA。
在二维平面中，磁共振信号可以表示为：
$S(k_x,k_y)=\iint C(x,y)\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy$ （1）
其中$C(x,y)$表示感应线圈的敏感度(receiver coil sensitivity)，$\rho (x,y)$表示自旋密度(spin density)。$k_x=\gamma G_x{t}_x$，$k_y=\gamma G_y{t}_y$，$\gamma$表示磁旋比（gyromagnetic ratio), $G_x和G_y$表示x和y方向的梯度大小。$t_x和t_y$表示对应的作用时间。
那么对于在多线圈的并行成像中，二维平面内的磁共振信号可以表示为：
$S_l(k_x,k_y)=\iint C_l(x,y)\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy,l=1,2,...,L$ （2）
$S_l(k_x,k_y),C_l(x,y)$分别表示第$l$个线圈的K空间数据和线圈敏感度，$L$表示线圈数量。
SMASH的基本概念：通过线圈的敏感度的线性组合可以直接产生缺失的相位编码。

图1.SMASH线圈敏感度合成
如何理解线圈敏感度的线性组合呢？如图1（a）所示，在一组相控阵列线圈中存在4个子线圈，排列方式如图所示。每个线圈都有相应的线圈敏感度 $C_l(x,y)$，其敏感度在相位编码方向的具有正弦分布的曲线。SMASH的思想，可以理解为通过一种线性组合，使得子线圈敏感度 $C_l(x,y)$可以 线性拟合成一些列的复数型复合线圈敏感度 $C_m^{comp}(x,y)$，这种复合线圈敏感度曲线也是具有复数型的空间谐波。那么可以用公式描述为：
$C_m^{comp}(x,y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}{C}_l(x,y)$ (3)
其中，m表示，空间谐波的序数（阶数）。在K空间中， $\Delta k_y$表示相位编码方向的分辨率，对m和 $\Delta k_y$的理解可以参见图2所示， $\Delta k_y=2\pi /FOV$
图2.SMASH 采样方式，实线表示实际采样，虚线表示欠采样的k空间数据。

公式（3）展示了不同m序数，对应的复合线圈敏感度。SMASH中认为合成线圈敏感度可以表示为：
$C^{comp}=cos\Delta k_y^{comp}+isin\Delta k_y^{comp}y=e^{(i\Delta k_y^{comp}y）}$ （4）
对于不同m阶，由（3）和（4）将产生合成线圈敏感度：
$C_m^{comp}(x,y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}{C}_l(x,y)=e^{(im\Delta k_{y}y)}$ (5)
当m=0时，$C_0^{comp}(x,y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^0{C}_l(x,y)=1$，如图1（a)中 0阶空间谐波，此时，理想合成的复数线圈敏感度，实数为1，虚数为0。图1(b)展示了8线圈的复合线圈敏感度，当m=0时，$C_0^{comp}$为常数。图1（b)中也展示了$C_{m=1}^{comp}$和$C_{m=2}^{comp}$的空间谐波合成情况。式（5）中，可以通过最小二乘法拟合求得每个m阶次下的权重系数$n_l^{(m)}$。
SMASH中认为在K空间复合信号也可以有与线圈敏感度相类似的线性合成：
$S_m^{comp}(k_x,k_y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}{S}_l(k_x,k_y)$（6）
$$\begin{gathered} S_m^{comp}(k_x,k_y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}{S}_l(k_x,k_y)={\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}\iint C_l(x,y)\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy=\iint \left[\begin{array}{c}{\sum }_{l=1}^L{n}_l^{(m)}{C}_l(x,y)\end{array}\right]\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy \\ =\iint e^{im\Delta k_{y}y}\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy \\ =\iint \rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i(k_y-m\Delta k_y)y)}dxdy \\ =S(k_x,k_y-m\Delta k_y) \end{gathered}$$（7）
$$\begin{gathered} S_m^{comp}(k_x,k_y)=\iint C_m^{comp}(x,y)\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy \\ =\iint C_0^{comp}(x,y)e^{im\Delta k_{y}y}\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i{k}_{y}y)}dxdy \\ =\iint C_0^{comp}(x,y)\rho (x,y)e^{(-i{k}_{x}x-i(k_y-m\Delta k_y)y)}dxdy \\ =S_0^{comp}(k_x,k_y-m\Delta k_y) \end{gathered}$$(8)
公式（7）中的$S$表示理想的相位编码位移函数，即用于填充K相位编码偏移$-m\Delta k_y$的空间数据。由公式（7），在求得权重系数$n_l^{(m)}$的情况下，可以通过已采集的$S_l(k_x,k_y)$线性拟合得到。
SMASH的缺点：
SMASH方法依赖于阵列中每个线圈的线圈敏感度的精确估计，才能确定最优的权重系数。而然线圈敏感度的精确估计是非常困难的，甚至不可能得到。