LeetCode之搜索插入位置（35）、x的平方根（69）、二分查找（704）、寻找比目标字母大的最小字母（744）、两个数组间的距离值（1385）

1、搜索插入位置（35）

题目描述：

【简单题】

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

你可以假设数组中无重复元素。

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思路分析

1、排序数组，查找，可以想到运用二分查找方法
2、又因为如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入位置.

• 考虑这个插入的位置 $\text{pos}$，它成立的条件为：

$$\text{nums}[pos-1]<\text{target}\le \text{nums}[pos]$$

其中 $\text{nums}$代表排序数组。由于如果存在这个目标值，我们返回的索引也是 $\text{pos}$，因此我们可以将两个条件合并得出最后的目标：「在一个有序数组中找第一个大于等于 $\text{target}$的下标」。
3、目标就是不断用二分法逼近查找第一个大于等于 $\text{target}$ 的下标.

• 考虑特殊情况：

  • 如果数组的长度为0,则返回0
  • 如果数组的最后一个元素小于目标值，则返回数组的长度

• 二分法逼近目标值

class Solution:def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:left,right=0,len(nums)while left<right:mid=left+(right-left)//2#返回中间位置的下标，判断并进行下一次二分；这样算可以防止right+left可能会溢出的问题，解决时间超时的问题if nums[mid]<target:left = mid+1else:right = midreturn left

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 为数组的长度。

• 空间复杂度：$O(1)$,我们只需要常数空间存放若干变量。

2、x的平方根（69）

题目描述：

【简单题】

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

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思路分析

方法：二分查找

1、由于 x 平方根的整数部分 $\text{ans}$ 是满足 $k^2\le x$的最大k 值，因此我们可以对k 进行二分查找，从而得到答案。

2、查找范围？

\quad \quad 一个数的平方根肯定不会超过它自己，不过直觉还告诉我们，一个数的平方根最多不会超过它的一半，例如8 的平方根，8 的一半是 4，$4^2=16>8$ 如果这个数越大越是如此，解不等式
$$(\frac{a}{2}{)}^2\ge a$$得$a\ge 4$或$a\le 0$,因此，一个数的平方根最多不会超过它的一半的特例是0，1，2，3，其平方根分别为0，1，1，1。

因此我们可设置

• 二分查找的下界为 0，【为了照顾到0】
• 二分查找的上界为这个数的一半再加1。【为了照顾到1，如果不加1的话，输入1将会出错】

class Solution:def mySqrt(self, x: int) -> int:l, r, ans = 0, x//2+1, -1while l <= r:mid = (l + r) // 2if mid * mid <= x:ans = midl = mid + 1else:r = mid - 1return ans

• 时间复杂度：$O(\log x)$，即为二分查找需要的次数。

• 空间复杂度：$O(1)$。

3、二分查找（704）

题目描述：

【简单题】

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

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思路分析

二分查找模板

• 如果目标值等于中间元素，则找到目标值。
• 如果目标值较小，继续在左侧搜索。
• 如果目标值较大，则继续在右侧搜索。

搜索区间左闭右闭[left,right]

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1while left <= right:mid = left + (right - left) // 2#返回中间位置的下标，判断并进行下一次二分；这样算可以防止right+left可能会溢出的问题，解决时间超时的问题if nums[mid] == target:return midif nums[mid]<target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1#执行结束没有找到返回-1

另一个通用模板：搜索区间左闭右开[left，right)

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) while left < right:mid = left + (right - left) // 2#返回中间位置的下标，判断并进行下一次二分；这样算可以防止right+left可能会溢出的问题，解决时间超时的问题if nums[mid] == target:return midif nums[mid]<target:left = mid + 1else:right = mid return -1

• 时间复杂度：$\mathcal{O}(\log N)$。

• 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。

4、寻找比目标字母大的最小字母（744）

题目描述：

【简单题】

给你一个排序后的字符列表 letters ，列表中只包含小写英文字母。另给出一个目标字母 target，请你寻找在这一有序列表里比目标字母大的最小字母。

在比较时，字母是依序循环出现的。举个例子：

• 如果目标字母 target = ‘z’ 并且字符列表为 letters = [‘a’, ‘b’]，则答案返回 ‘a’

提示：

• letters长度范围在[2, 10000]区间内。
• letters 仅由小写字母组成，最少包含两个不同的字母。
• 目标字母target 是一个小写字母。

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思路分析

1、有序，寻找比目标字母大的最小字母，则可以利用二分查找算法解决此题。

2、在比较时，字母是依序循环出现的。因为若target大于letters里面的所有元素，那么退出循环时候left就会指向索引为len(letters)的位置，所以我们通过取余操作达到循环的效果。

【python3实现代码】

class Solution:def nextGreatestLetter(self, letters: List[str], target: str) -> str:left,right=0,len(letters)while left < right:mid=left+(right-left)//2if letters[mid]<=target:left=mid+1else:right=midreturn letters[left%len(letters)]

• 时间复杂度：$O(\log N)$。N 指的是 letters 的长度。
• 空间复杂度：$O(1)$。只使用了指针。

5、两个数组间的距离值（1385）

题目描述：

【简单题】

给你两个整数数组 arr1 ， arr2 和一个整数 d ，请你返回两个数组之间的 距离值 。

「距离值」 定义为符合此距离要求的元素数目：对于元素 arr1[i] ，不存在任何元素 arr2[j] 满足 |arr1[i]-arr2[j]| <= d 。

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思路分析

题解一：线性扫描

\quad \quad 按照题意模拟：对于 arr1 数组中的每一个元素 $x_i$ ，枚举数组 arr2 中的每一个元素 $y_j$，如果对于每一个 $y_j$都有 $|x_i-y_j|>d$，如果是，就将答案增加 1。

【代码实现】

class Solution:def findTheDistanceValue(self, arr1: List[int], arr2: List[int], d: int) -> int:count=0for x in arr1:if all(abs(x-y)>d for y in arr2):count+=1return count

• 时间复杂度：$O(m\ast n)$,其中m,n分别为两数组的长度
• 空间复杂度：$O(1)$

题解二：二分查找

\quad \quad 对于arr1数组中的每一个元素 $x_i$ ，如果我们可以在arr2数组中找到比它小的第一个元素和比它大的第一个元素，如果它们与 $x_i$ 的绝对值距离大于d,那么arr2数组中所有元素都满足条件，则$x_i$符合距离要求，答案加1。

那么如何在arr2数组中找与arr1数组元素最接近的两个元素呢？——二分查找法

• 对 arr2 进行排序，然后对于 arr1 中的每个元素 $x_i$ ，在 arr2 中进行二分查找，找到其在 arr2 被顺序插入的位置即所在索引。【插入位置也需要分别讨论】
  • 如果插入索引为0即arr2数组中第一个位置，那么元素 $x_i$最接近元素仅有一个即arr2数组中第一个元素。
  • 如果插入索引为arr2数组长度，那么元素 $x_i$最接近元素仅有一个即arr2数组中最后一个元素。
  • 如果插入索引为其他值，那么元素 $x_i$最接近元素有两个即arr2数组中该插入的地方对应的元素及该索引前一个元素。

【代码实现】

class Solution:def findTheDistanceValue(self, arr1: List[int], arr2: List[int], d: int) -> int:arr2.sort()count=0for x in arr1:l,r=0,len(arr2)#寻找x应该插入到arr2数组哪个位置，l就是其所插入值while l<r:mid=l+(r-l)//2if arr2[mid]<x:l=mid+1else:r=midif l==0:# 如果插入位置索引为0即arr2数组中第一个位置if arr2[0]-x>d:# 求距离，可加一个绝对值符号，这样不会因大小的错误比较而导致结果错误count+=1elif l==len(arr2):# 如果插入位置为arr2长度if x-arr2[-1]>d:count+=1else:if abs(x-arr2[l])>d and abs(x-arr2[l-1])>d:count+=1return count                

上述代码编写了一个程序实现待插入位置任务，还有一种简单的方法就是python中bisect模块可实现有序序列的插入和查找。

class Solution:def findTheDistanceValue(self, arr1: List[int], arr2: List[int], d: int) -> int:arr2.sort()count = 0for x in arr1:p = bisect.bisect_left(arr2, x)if p == len(arr2) or abs(x - arr2[p]) > d:if p == 0 or abs(x - arr2[p - 1]) > d:count += 1return count

题解三：排序+双指针

未完待续