南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）

为什么要学习算法？

在有限时间和内存下，编写程序正确地或有效地解决问题。

计算Fibonacci数列的第n项

算法一：递归函数

int F(int n){if(n<=2) return 1;return F(n-1)+F(n-2);
}

算法二：递推循环

int F(int n){if(n<=2) return 1;int f1=1, f2=1;for(int i=3;i<=n;i++){int temp = f1+f2;f1=f2;f2=temp;}return f2;
}

递归函数计算100项时，会无法完成计算，递推可以很快计算出100项。

递归算法的时间复杂度为O(1.618^n)，递推函数的时间复杂度为O(n)。

算法三：矩阵快速幂算法

数列递推公式的矩阵形式，数学通项公式的矩阵形式

即使有了通项公式，要计算n-2次幂还是需要O(n)时间

快速幂算法

每次迭代问题规模减半，时间复杂度O(log n)

class Matrix{Matrix operator*(const Matrix &);// ...
};Matrix Quickpow(Matrix A, int n){if(n==1) return A;Matrix half = Quickpow(A, n/2);if(n%2==1){return A*half*half;}else{return half*half;}
}int F(int n){if(n<=2) return 1;Matric A(1,1,1,0);A = Quickpow(A,n-2);return A[0][0] + A[0][1];
}

当数据规模更大时，O(log n)能比O(n)快得更多

为什么学习算法

• 根据数据规模选择恰当时间复杂度的算法是很重要的
• 本课程会介绍更多的方法和思想来优化时间复杂度，矩阵快速幂算法就是分治思想的一个经典应用
• 优化时间复杂度带来的效率提升往往是显著的，但是设计出新的低复杂度算法是难度非常高的
• 需要澄清的是，程序的实际运行时间不仅仅由算法的时间复杂度决定的