美式期权定价的最小二乘蒙特卡洛算法（理论部分）

* 本文数据来源庄洋洋的论文《基于最小二乘蒙特卡洛法的美式巴黎期权定价》

最小二乘蒙特卡洛算法步骤介绍

（1）进行N次蒙特卡洛模拟，得到一条N+1个点的股票价格样本路径，重复M次，则得到M条股票价格样本路径。生成每个点的股票价格的公式是

举个例子，模拟美式看跌期权，取M=10，N=3，随机生成的路径如下

（2）从期权到期日开始逆向求解，用最小二乘法计算各点如果继续持有期权的价值，得到每条样本路径上的最优期权执行时间和相应的期权收益（你们肯定没看懂这句话所以直接看例子吧）

取执行价K=1.05，那么在t=3处各条路径的价值为max(K-S,0)，即

处理好了t=3，我们来看t=2时的情况。为了判断到底此时要不要行权，所以我们看看把t=3时的收益折现到t=2处的收益值，如下表所示，0.99584是折现因子

我们把“t=3时的收益折现到t=2处的值”视为Y，把“t=2时的股票价格”视为X，即

对这组数据做最小二乘法拟合，得到

重新把以上的X代入，算得下表中“继续持有”列，据此可以判断是否应该立即行权

对于t=1，做一样的处理。在t=2处立即行权的，需要折现一次，在t=3处行权的，就折现两次

得到最小二乘法拟合的公式

（3）这样，对每条路径，我们都可以知道应该在何时行权，收益会有多少。将每条路径的最优行权选择都贴现到t=0，再取平均，就得到了对期权的定价。