本文主要是介绍「管理数学基础」3.1 凸分析：凸集与凸集分离定理、Farkas引理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
凸集与凸集分离定理、Farkas引理
文章目录
- 凸集与凸集分离定理、Farkas引理
- 凸集
- 定义：凸集
- 凸集性质（逐个证明）
- 超平面
- 定义：超平面
- 证明：超平面是凸集
- 定义：支撑超平面
- 定义：多面体
- 定义：凸锥
- 凸集分离定理
- 定义：分离
- 定义：凸集分离定理
- Farkas引理
- 定义：Farkas引理
- 证明：Farkas引理
凸集
定义：凸集
注意凸集的定义，任取两点满足某个条件为凸集：
- 证明
是凸集的目标有了 凸集的性质也有了，可以利用
凸集性质（逐个证明）
(1)
分析：
- 任取 x A , y A ∈ λ C x_A,y_A \in \lambda C xA,yA∈λC，因为是要证明 λ C \lambda C λC是凸集
- 也就是要对于所有的 x A , y A ∈ λ C , β ∈ [ 0 , 1 ] x_A,y_A \in \lambda C,\beta \in [0,1] xA,yA∈λC,β∈[0,1]，都有 β x A + ( 1 − β ) y A ∈ λ C \beta x_A + (1-\beta) y_A \in \lambda C βxA+(1−β)yA∈λC
- 能利用的性质只有 C C C是凸集
以及C C C与 λ C \lambda C λC两个集合的关系（从微观上，一定存在 C C C中元素乘上实数 λ \lambda λ在 λ C \lambda C λC中），应该在二者间建立联系
(2)
分析：
- 与上一题思路相同
(3)
有限个凸集的交集为凸集。
由以上凸集性质，我们做下面两点例题。
分析：
- 分别在集合间取元素，根据集合性质建立元素间关系
- 然后带回去，这样从原理出发计算不会出错
超平面
定义：超平面
分析：
- a ′ x = b a' x = b a′x=b在 R 2 R^2 R2是直线，在 R 3 R^3 R3是平面，在 R k , k > 3 R^k,k>3 Rk,k>3当然就是超平面了
- 注意 a a a实际上超平面的法向量，与超平面垂直； b ∈ R 1 b\in R^1 b∈R1决定了超平面的位置
- 闭半空间一共有两个（一侧的点与法向量构成锐角，一侧是锐角）
证明：超平面是凸集
很简单，对于闭半空间是凸集同理，将 = = =换成 ≤ \le ≤或 ≥ \ge ≥即可。
定义：支撑超平面
分析：
- “支撑”即超平面对这个空间的生成起了作用，“触碰”到了这个空间
定义：多面体
多面体：
- 是多胞形（上图的多胞形定义，我觉得不对）
- 有界非空
定义：凸锥
分析：
- 经过原点 0 ⃗ \vec{0} 0，因此超平面中 b = 0 b=0 b=0
- λ 1 x \lambda_1 x λ1x 与 λ 2 y \lambda_2 y λ2y 相加，实际上表示了两个超平面的中和，即相互趋近
凸集分离定理
定义：分离
分析：
- 两个非空集合，可以被几何的概念（超平面）分开，不重叠（但是可以重叠在超平面上）
- 如果
没有≤ \le ≤与 ≥ \ge ≥即等号关系，则是严格分离
定义：凸集分离定理
如上是凸集分离定理（如果两个集合是不相交的凸集，那么可以被一个超平面分开）。
证明过程很长，证明并应用了：Weierstrass定理、点集严格分离定理、支撑超平面定理。
Farkas引理
定义：Farkas引理
用于后面的凸规划，这里注意一点：
- (1)有解了，(2)必无解
证明：Farkas引理
首先，假设(1)有解，证明(2)无解即可；接着证明(1)无解情况下，(2)必有解，大概思路是：
- ∀ y ∈ S \forall y \in S ∀y∈S，由(1)无解可得 b ∉ S b \notin S b∈/S，由此，利用点集分离定理，得到 p ′ b < p ′ y p' b < p' y p′b<p′y
- 进一步，由 0 ∈ S 0 \in S 0∈S，则有 p ′ b < 0 p'b < 0 p′b<0，现在(2)的第二个式子已经证明完毕了，接下来是第一个式子 p ′ A ≥ 0 p'A \ge 0 p′A≥0的证明
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