「管理数学基础」2.1 泛函分析：距离空间及其完备性

距离空间及其完备性

• 空间：赋予了某种数学结构的非空集合
• 算子：两个集合间的映射

距离与距离空间

定义：距离

分析：

• 判断是否为距离，即判断$d$是否满足上述三个性质
• 是任取$x,y\in X$
• 一般可以用“$d(x,y)=0$但$x\ne y$”来反证不是距离
• 此外，也可以用特殊的$(x,y,z)$带到三角不等式里面，举反例

例题1：是否为距离

分析：

• 依次检验三条性质即可
• 答案写得不标准，应该有任取$x,y\in C[a,b]$

例题2：是否为距离

分析：利用了反例，三角不等式。

定义：距离空间

定义了距离$d$的非空集合$X$，称为距离空间，可简记为$(X,d)$。

例题3：讨论以下定义是否为距离

(1) 易征，略。

(2) 的第三条性质“三角不等式”需要额外推导一下。

分析：为了引出$d(x,y)$与$z$的关系，特意设定了如上我用红框标注的关系：$a_i=x_i-z_i$，$b_i=z_i-y_i$。

(3)

有句话值得琢磨：由(2)、(3)可见，在同一空间$R^n$上，可以定义不同的距离（$\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$和${\sum }_1^n|x_i-y_i|$），从而构成不同的距离空间。

上述这句话码提示了我们：距离空间与距离密切相关，距离定义了距离空间。

(4)

分析：

• 这个值得注意，这里的距离不是两个点的距离，而是两个函数的距离
• 注意，${\min }_{a\le t\le b}|x(t)-y(t)|=0$中，这个$\min$是针对$t$而言的
  • 这就是说只要有一处$t=t_0$，使得$x(t_0)=y(t_0)$，那么就会有${\min }_{a\le t\le b}|x(t)-y(t)|=0$，如上图两条曲线有一个交点
  • 但这就与“$d(x,y)=0$互为充要条件$x=y$”不符合，因为$x(t)$与$y(t)$只在$t=t_0$处相等，并非$x(t)=y(t)$两个函数相等

(5)

距离空间的完备性

定义：点列的极限

定义与性质：柯西列

分析：

• 点列收敛，一定是柯西列（证明中利用了距离的性质）
• 柯西列不一定收敛
• 柯西列可以理解为两个点都向远处跑，二者距离为0（$d(x_n,x_m)\to 0;m,n\to \infty$）

例子：是柯西列，但是不收敛。

如上两个例题，并没有说该柯西列不收敛到某个数，而是收敛后不属于该空间了。因此说，不收敛。

完备性

定义：若$X$中任意柯西列均收敛，则称$(X,d)$是完备的距离空间。即：$X$对极限运算封闭。

即：柯西列在该空间收敛，该空间完备。

重要定理：R1柯西列完备

这个在证明完备性的例题种很常用。

例题4&5：证明距离空间完备

例题4

例题5

分析：

• 先证明是柯西列
• 再任取一个维度，利用$R^1$完备的特点，得出${\lim }_k{x}_i^{(k)}=x,i=1,...,n$
• 再带回去得到$x=(x_1,...,x_n{)}^T;d(x_k,x)\to 0;k\to \infty$

例题：证明离散距离空间是完备的

分析：

• 因为是离散距离空间，因此如果二者$d\to 0$
• 则说明两个点也相等，则有$x_m=x_k$
• 那这里可以按住一个点，比如设$m>k$，按住$k$，$x_k$则为收敛判定${\lim }_k{x}_m=x_k;m\to \infty$中的常数