本文主要是介绍梯度下降（Gradient Descent）原理以及Python代码，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
给定一个函数，我们想知道当
是值是多少的时候使这个函数达到最小值。为了实现这个目标，我们可以使用梯度下降（Gradient Descent）进行近似求解。
梯度下降是一个迭代算法，具体地，下一次迭代令
是梯度，其中
是学习率(learning rate)，代表这一轮迭代使用多少负梯度进行更新。梯度下降非常简单有效，但是其中的原理是怎么样呢？
原理
为什么每次使用负梯度进行更新呢？这要从泰勒公式（Taylor's formula）说起：
泰勒公式的目的是使用的多项式去逼近函数
，这里可以理解泰勒公式在
的展开是原函数的一个近似函数。
那泰勒公式跟梯度下降有什么关系呢？
我们的目标是使，我们对
在
处进行一阶泰勒展开：
由此可知，我们只需令，就会使
所以迭代公式可以为
案例
下面我们看具体例子，假设我们有以下函数
矩阵和向量
已知，我们想知道当
取值为多少的时候，函数
的值最小。
根据梯度下降法，我们只需计算出负梯度，然给定一个初始值，不断迭代就能找到一个近似解了。负梯度计算如下：
接下来让我写一段代码解决这个问题
定义梯度下降函数
首先，定义cal_gradient函数用来计算梯度，然后使用gradient_decent进行迭代，其中learning_rate就是公式中的，这个值需要合理设置，过大的话会导致震荡，过下的话又会导致迭代时间过长。step代表迭代的次数，理想情况下找到满意的解就停止。
我们会在代码中调整这两个参数查看它们对求解过程的影响。
import numpy as np
import time#calculate gradient
def cal_gradient(A, b, x):left = np.dot(np.dot(A.T, A), x)right = np.dot(A.T, b)gradient = left - rightreturn gradient# iteration
def gradient_decent(x, A, b, learning_rate, step):start = time.time()for i in range(step):gradient = cal_gradient(A, b, x)delta = learning_rate * gradientx = x - deltaend = time.time()time_cost = round(end - start, 4)print('done! x = {a}, time cost = {b}s'.format(a=x, b=time_cost))求解过程
我们给了矩阵和向量
的值以及标准答案
，然后我们随机初始化一个
，让学习率
，迭代次数
A = np.array([[1.0, -2.0, 1.0], [0.0, 2.0, -8.0], [-4.0, 5.0, 9.0]])
b = np.array([0.0, 8.0, -9.0])
# Giveb A and b，the solution x is [29, 16, 3]x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
learning_rate = 0.01
step = 1000000gradient_decent(x0, A, b, learning_rate, step)结果
以下为结果，可以看出求得的近似解和标准答案 还是非常接近的。
done! x = [28.98272933 15.99042465 2.99763054], time cost = 4.6037s调整学习率
其他参数都一样，我们让学习率变小，运行相同的步数，从以下结果看到求得的近似解跟标准答案还有一定差距。这意味着小的过小学习率需要学习更久的时间。
learning_rate = 0.001# result
# done! x = [15.8048349 8.68422815 1.18968306], time cost = 4.5997s
调整初始值
我们只调整初始值，学习相同的步数，发现求得的近似解尽管与标准答案相似，但是不如第一个方法求得解。这说明梯度下降方法也会受到初始值得影响。
x0 = np.array([1000, 1000, 1000])# result
# done! x = [29.78036839 16.43265826 3.10706301], time cost = 4.5528s总结
梯度下降方法是一种非常有效的优化方法，它的效果会受到初始值、学习率、步数的影响。如果要说缺点的话，就是它容易找到局部最优解，有时候会发生震荡现象。
参考
https://sm1les.com/2019/03/01/gradient-descent-and-newton-method/
这篇关于梯度下降（Gradient Descent）原理以及Python代码的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
