本文主要是介绍代码随想录算法训练营第四十三天|1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
1049. 最后一块石头的重量 II
思路：
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。
本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。
相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”
2.确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3.dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。
因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。
而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。
当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量然后除2，得到dp数组的大小。
我这里就直接用15000了。
接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
4.确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5.举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。
那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
代码：
一维DP版
class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int: total_sum = sum(stones)target = total_sum // 2dp = [0] * 15001 # dp = [0] * (target + 1) 也可以for stone in stones: # 遍历物品for j in range(target, stone - 1, -1): # 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stone] + stone)return total_sum - dp[target] - dp[target]- 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
- 空间复杂度：O(m)
494. 目标和
思路：
建议不懂的同学自己先用二维数组来做，比较好理解，理解了之后再用一维数组。
1. 含义：dp【i】【j】：从下标为【0...i】的物品里任取，填满j这么⼤容积的包，有dp【i】【j】种⽅法
2. 递推式：dp【i】【j】 = dp【i-1】【j】 + dp【i-1】[j-nums【i】]
dp【i-1】【j】是不将物品i放入背包的方式数，dp【i-1】[j-nums【i】]是将物品i放入背包的方式数
3. 初始化：dp【0】【0】 = 1 表示装满容量为0的背包，有1种⽅法，就是装0件物品。
如果nums【0】在范围内的话，dp【0】[nums【0】] = 1
其他全为0
4. 计算顺序：顺序，行优先
5.举例推导dp数组
代码：
二维dp数组
class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和if abs(target) > total_sum:return 0 # 此时没有方案if (target + total_sum) % 2 == 1:return 0 # 此时没有方案target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和# 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示背包容积dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums))]# 初始化第一行dp[0][0] = 1for j in range(target_sum + 1):if j==nums[0]:dp[0][j]=1# 初始化第一列# 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案# n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）num_zeros = 0for i in range(len(nums)): if nums[i] == 0: num_zeros += 1 dp[i][0] = 2 ** num_zeros# 动态规划过程for i in range(1, len(nums)):for j in range(1, target_sum + 1):if j < nums[i]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]return dp[len(nums)-1][target_sum] # 返回达到目标和的方案数- 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
- 空间复杂度：O(n × m)
一维dp数组
class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和if abs(target) > total_sum:return 0 # 此时没有方案if (target + total_sum) % 2 == 1:return 0 # 此时没有方案target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和dp = [0] * (target_sum + 1) # 创建动态规划数组，初始化为0dp[0] = 1 # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选for num in nums:for j in range(target_sum, num - 1, -1):dp[j] += dp[j - num] # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量return dp[target_sum] # 返回达到目标和的方案数- 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
- 空间复杂度：O(m)
474. 一和零
思路：
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
但本题其实是01背包问题！
只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
开始动规五部曲：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。（容量为i,j的背包，最多能装dp[i][j]个物品）
2.确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
3.dp数组如何初始化
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。（保证初始值不会影响递推公式的运算）
4.确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？
没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！
5.举例推导dp数组
以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
代码：
class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 创建二维动态规划数组，初始化为0for s in strs: # 遍历物品zeroNum = s.count('0') # 统计0的个数oneNum = len(s) - zeroNum # 统计1的个数for i in range(m, zeroNum - 1, -1): # 遍历背包容量且从后向前遍历for j in range(n, oneNum - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1) # 状态转移方程return dp[m][n]- 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
- 空间复杂度: O(mn)
这篇关于代码随想录算法训练营第四十三天|1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
