本文主要是介绍1.9 各种特殊类型的环，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
§9 各种特殊类型的环
下面介绍环的一些重要类型：
定义1.9.1（幺环）
具有单位元素的环称为幺环，其单位元素简记为 1 1 1 .
设 L L L 为一个环。若 L L L 中有一元素 e e e 具有性质：
e a = a e = a , ∀ a ∈ L , ea = ae = a, \forall a \in L, ea=ae=a,∀a∈L,
则称 e e e 为环 L L L 的单位元素。
定义1.9.2（单位）
若幺环 L L L 的一对元素 a , b a,b a,b 满足 a b = 1 ab = 1 ab=1，则 b ( a ) b(a) b(a) 称为 a ( b ) a(b) a(b) 的右（左）逆。
若 a a a 既有左逆又有右逆，则 a a a 的左、右逆相等，简称为 a a a的逆。 此时 a a a 称为 L L L 的一个可逆元素，也成为 L L L 的一个单位。
定义1.9.3（零因子）
设 a ∈ L , a ≠ 0. a \in L,a \neq 0. a∈L,a=0. 若有元素 b ∈ L , b ≠ 0 b \in L, b \neq 0 b∈L,b=0,使 a b = 0 ab = 0 ab=0，则元素 a a a 称为一个左零因子。同样地，可以定义右零因子
若在环 L L L 中不存在零因子，则在环 L L L 中消去律成立。
定义1.9.4（交换环）
环对加法满足交换律，因为所有的环都是Abel群。若环 L L L 对乘法满足交换律，则 L L L 称为交换环。
定义1.9.5（整环）
无零因子的交换幺环，且 1 ≠ 0 1 \neq 0 1=0，称为整环。显然，整数环 Z \mathbb{Z} Z 是整环。
定义1.9.6（域）
若环 F F F 是交换幺环，且至少含有两个元素，且全体非零元素对乘法成一个群，则环 F F F 称为域。
域 F F F 的全体非零元素对乘法成一个交换群意味着： F F F 中每个非零元素都有逆元素。从而知：域中没有零因子，从而域一定是整环。
定理1.9.1
有限整环是域。
证明
设 L L L 为含有 n n n 个元素的整环，其元素为:
a 1 , a 2 , ⋯ , a n ， 其 中 a 1 = 1. a_{1},a_{2},\dotsb,a_{n}，其中a_{1} = 1. a1,a2,⋯,an，其中a1=1.
取 L L L 中任一非零元素 a a a，作元素：
a a 1 , a a 2 , ⋯ , a a n . aa_{1},aa_{2}, \dotsb,aa_{n}. aa1,aa2,⋯,aan.
由消去律知:这 n n n个元素一定是两两不同的。由他们的个数知：这些元素就是 L L L 的全部元素，故其中必有 1 1 1 。即：
对每一个给定的 a ∈ L a \in L a∈L，存在一个数 i i i，使得 a a i = 1. aa_{i} = 1. aai=1.
由 a a a 的任意性知： L L L 中每个元素都有与之对应的逆元素。因而 L L L 是域。 ■ \blacksquare ■
定义1.9.7（子域）
若域 F F F 的一个子环 S S S 是域，则称 S S S 是 F F F 的一个子域。
定义1.9.8（体）
若环 L L L 是幺环，且至少含有两个元素，且全体非零元素对乘法成一个群，则称 L L L 为体。
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