动态规划day.1

本文主要是介绍动态规划day.1，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

509.斐波那契数

链接：. - 力扣（LeetCode）

题目描述：

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

思路：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义，dp是一个一维或者二维的用来做状态转移的数组，dp[i]代表着第i个斐波那契数值为dp[i]
2. 确定递推公式，递推公式为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. dp数组如何初始化，根据题目描述进行初始化，dp[0] = 1 ， dp[1] = 1
4. 确定遍历顺序，我们需要从前往后遍历，确保dp[i]是由最新的dp[i-1]和dp[i-2]构成的
5. 举例推导dp数组，查找debug

代码

int fib(int n){if(n <= 1)return n;int dp[n+1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];} return dp[n];
}

70.爬楼梯

链接：. - 力扣（LeetCode）

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

题目分析：

如果只有1阶台阶，那只有一种方法，如果有2阶台阶，那么有2中方法，如果有3阶台阶，那么应该有3种方法，因为我们一次最多走1阶或者2阶，因此需要使用1阶或者2阶的结论来进行推导，而4阶只能由二阶和三阶迈上来，因此只有5种方法，这就得到了递推的关系

思路：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义，在这里dp数组的含义就是，达到第i阶台阶有dp[i]种方法
2. 确定递推公式，由上面的题目分析可知道，当前的状态是由前两个状态推导而得，因此就可以得到递推公式，即dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. dp数组如何初始化，在这题中，dp[i]应该是走到第i阶台阶的方法数，因此dp[1] = 1，dp[2] = 2，因为n是正整数，因此dp[0]无意义
4. 确定遍历顺序，由前向后遍历，因为后面的状态是由前面的状态推导出来的
5. 举例推导dp数组

代码

int climbStairs(int n) {if( n <= 2)return n;int dp[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3; i <= n ; i++)dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];return dp[n];
}

746.使用最小花费爬楼梯

链接：. - 力扣（LeetCode）

题目描述：

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

 思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义，dp数组的下标代表我们到达的台阶数，而dp数组的值代表着我们所需要的最小花费，因此dp数组的含义为我们到达下标i时的最小花费
2. 确定递推公式，我们需要求的是dp[i]，而在本题中，一步可以跳一个台阶或者两个台阶，因此既可以知道dp[i]就可以由dp[i-1]的位置跳转1步得到，也可以由dp[i-2]这个位置跳转两步得到，如果是由dp[i-1]往上跳一步，那么花费为cost[i-1]，即dp[i] = dp[i-1] + cost[i-1]，同理就可以得到dp[i] = dp[i-2] + cost[i-2]，因为我们要求的是最小的花费，因此就可以得到dp[i] = min( (dp[i-1] + cost[i-1]), (dp[i-2] + cost[i-2]))
3. dp数组如何初始化，根据我们得到的递推公式，可知dp[i]的数值其实是由dp[i-1]和dp[i-2]求得的，因此我们只需要对dp[0]和dp[1]进行初始化即可，根据题意，我们开始位置可以是0或者1，如果没有向上跳，则花费应该为0，因此就可以得到dp[0] = 0， dp[1] = 0
4. 确定遍历顺序，由于当前状态是由前面的状态决定的，因此需要由前向后遍历
5. 举例推导dp数组，查看debug

代码

#define min(a,b) a>b ? b:aint minCostClimbingStairs(int* cost, int costSize) {int dp[costSize + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for(int i = 2; i <= costSize ; i++)dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);    return dp[costSize];
}

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