稀疏变分高斯过程【超简单，全流程解析，案例应用，简单代码】

本文主要是介绍稀疏变分高斯过程【超简单，全流程解析，案例应用，简单代码】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

简介

稀疏变分高斯过程（Sparse Variational Gaussian Processes, SVGP）是一种高效的高斯过程（GP）近似方法，它使用一组称为引入点的固定数据点来近似整个数据集。这种方法大大减少了高斯过程模型的计算复杂度，使其能够适用于大数据集。下面是SVGP的详细数学过程。

1. 定义和目标

在标准高斯过程中，给定数据集 $\{({\mathbf{x}}_i,y_i){\}}_{i=1}^N$，目标是学习一个映射 $f$ ，其中 $f\sim \mathcal{G}\mathcal{P}(m,k)$，$m$ 是均值函数，$k$ 是协方差函数。SVGP的目标是使用一组较小的引入点 Z = { z i } i = 1 M \mathbf{Z} = \{\mathbf{z}_i\}_{i=1}^M Z={zi​}i=1M​ （其中 $M\ll N$）来近似这个映射。

2. 协方差函数与引入点

引入点 $\mathbf{Z}$ 被用于构建一个近似的协方差矩阵 ${\mathbf{K}}_{MM}$，其中包含引入点之间的协方差。实际的观测点 $\mathbf{X}$ 与引入点之间的协方差表示为 ${\mathbf{K}}_{NM}$。

3. 变分分布

在SVGP中，我们设定变分分布 $q(f)$ 来近似真实的后验分布。变分分布假设形式为:
$$q(\mathbf{f})=\int p(\mathbf{f}|\mathbf{u})q(\mathbf{u})d\mathbf{u}$$
其中 $\mathbf{u}$ 是在引入点上的函数值，$q(\mathbf{u})=\mathcal{N}(\mathbf{u}|\mathbf{m},\mathbf{S})$ 是定义在引入点上的高斯分布，具有均值 $\mathbf{m}$ 和协方差矩阵 $\mathbf{S}$。

4. 近似后验参数的计算

变分参数 $\mathbf{m}$ 和 $\mathbf{S}$ 通过最小化KL散度（Kullback-Leibler divergence）来学习，这是变分推断中的常用方法。这要求我们计算如下的期望对数似然和KL散度：

$$\text{ELBO}={\mathbb{E}}_{q(\mathbf{f})}[\log p(\mathbf{y}|\mathbf{f})]-\text{KL}(q(\mathbf{u})\Vert p(\mathbf{u}))$$

其中，第一项是在变分分布下数据的对数似然的期望，第二项是变分分布和先验分布之间的KL散度。

5. 计算具体步骤

• 计算协方差矩阵 ${\mathbf{K}}_{MM}$, ${\mathbf{K}}_{NM}$ 和 ${\mathbf{K}}_{NN}$。
• 变分分布更新：通过优化ELBO来学习变分参数 $\mathbf{m}$ 和 $\mathbf{S}$。
• 后验均值和协方差的更新：在测试点 ${\mathbf{X}}_{\ast }$ 上的后验均值和方差可以通过变分参数和核矩阵计算得到。

6. 优势与应用（时间复杂度）

SVGP减少了与 $N$ 成二次方的计算复杂度，变为与 $M$ 成二次方的计算复杂度，其中$M$ 通常远小于 $N$。这使得SVGP可以应用于大规模数据集的概率建模和推断。

应用案例

让我们通过一个具体的数值例子来解释稀疏变分高斯过程（SVGP）的操作和计算。假设我们有一个简单的一维回归任务，数据集由以下观测点构成：

• 训练数据点 $X$：$$\mathbf{X}=[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5]$$
• 对应的目标值 $y$：$$\mathbf{y}=[1.0,2.0,3.0,2.5,1.5]$$

我们的目标是使用SVGP来拟合这些数据。我们设定使用两个引入点（$M=2$），位置分布在输入空间内：

• 引入点 $Z$：$$\mathbf{Z}=[1.0,4.0]$$

假设使用的核函数是平方指数核，其长度尺度设定为 1.0，输出方差也设定为 1.0。

1. 初始化参数

引入点的均值 $\mathbf{m}$ 和协方差 $\mathbf{S}$ 参数随机初始化：
$$\mathbf{m}=[0.0,0.0]$$
$$\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}1.0& 0.0\\ 0.0& 1.0\end{array}\right]$$

2. 计算核矩阵

设定噪声水平 ${\sigma }^2=0.1$。

• ${\mathbf{K}}_{MM}$：核矩阵在引入点之间：
  $${\mathbf{K}}_{MM}=\left[\begin{array}{cc}1.0& e^{-4.5/2}\\ e^{-4.5/2}& 1.0\end{array}\right]$$
• ${\mathbf{K}}_{NM}$：核矩阵在观测点和引入点之间：
  $${\mathbf{K}}_{NM}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-0.25/2}& e^{-12.25/2}\\ e^{-0.25/2}& e^{-6.25/2}\\ e^{-1.0/2}& e^{-2.25/2}\\ e^{-4.5/2}& e^{-0.25/2}\\ e^{-9.0/2}& e^{-0.25/2}\end{array}\right]$$

3. 计算优化变分参数

在这一步，我们利用变分推断来优化引入点的均值 $\mathbf{m}$ 和协方差 $\mathbf{S}$ 参数。假设我们使用期望传播（EP）或者自然梯度下降来优化。

（1）. 计算引入点的后验分布参数：

• 使用的核矩阵 ${\mathbf{K}}_{MM}$ 和 ${\mathbf{K}}_{NM}$ 已经给出。
• 计算精度矩阵（逆协方差矩阵）$\Lambda$：
  $$\Lambda ={\mathbf{K}}_{MM}^{-1}+{\mathbf{K}}_{NM}^{\top }\text{diag}(\frac{1}{{\sigma }^2+\text{Var}[{\mathbf{f}}_n]}){\mathbf{K}}_{NM}$$
• 其中，$\text{Var}[{\mathbf{f}}_n]$ 是每个数据点的方差，可以假设初始为零。
• 更新均值 $\mathbf{m}$：
  $$\mathbf{m}={\Lambda }^{-1}{\mathbf{K}}_{NM}^{\top }\text{diag}(\frac{1}{{\sigma }^2+\text{Var}[{\mathbf{f}}_n]})\mathbf{y}$$

（2）. 优化变分参数：

• 根据变分推断框架，我们最小化KL散度。这通常涉及到迭代更新 $\mathbf{m}$ 和 $\mathbf{S}$ 直到收敛：
  $$\mathbf{S}={\Lambda }^{-1}$$

4. 预测新数据点

给定新的输入位置 $x_{\ast }=[2.0,3.0]$，我们使用更新后的变分参数进行预测：

（1）. 计算新数据点与引入点之间的核矩阵 ${\mathbf{K}}_{\ast M}$：
$${\mathbf{K}}_{\ast M}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-1.0/2}& e^{-9.0/2}\\ e^{-4.0/2}& e^{-1.0/2}\end{array}\right]$$

（2）. 计算新数据点自身的核矩阵 ${\mathbf{K}}_{\ast \ast }$：
$${\mathbf{K}}_{\ast \ast }=\left[\begin{array}{cc}1.0& e^{-1.0/2}\\ e^{-1.0/2}& 1.0\end{array}\right]$$

（3). 使用变分后验公式计算预测均值和方差：

• 均值：
  $${\mu }_{\ast }={\mathbf{K}}_{\ast M}{\mathbf{K}}_{MM}^{-1}\mathbf{m}$$
• 方差：
  $${\Sigma }_{\ast }={\mathbf{K}}_{\ast \ast }-{\mathbf{K}}_{\ast M}{\mathbf{K}}_{MM}^{-1}({\mathbf{K}}_{MM}-\mathbf{S}){\mathbf{K}}_{MM}^{-1}{\mathbf{K}}_{M\ast }$$
• 这里 ${\mathbf{K}}_{M\ast }$ 是 ${\mathbf{K}}_{\ast M}$ 的转置。

5. 结果展示

这种方法给出了在新数据点 $x_{\ast }=[2.0,3.0]$ 处的预测分布，包括均值和方差，这些预测可以用于后续的分析或决策制定。

假设优化后，参数更新为：
$$\mathbf{m}=[1.5,2.0]$$
$$\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.1\\ 0.1& 0.5\end{array}\right]$$

• 注意：在实际应用中，这些计算会通过自动化软件工具包如GPflow或GPyTorch来完成。

让我们详细解释上述例子中使用的每个符号和参数：

符号和参数说明

1. $X$（训练数据点）:

   • $\mathbf{X}=[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5]$：一维输入空间中的训练数据点。

2. $y$（目标值）:

   • $\mathbf{y}=[1.0,2.0,3.0,2.5,1.5]$：对应于输入点 $X$ 的目标输出。

3. $Z$（引入点）:

   • $\mathbf{Z}=[1.0,4.0]$：在输入空间中人为设置的参考点，用于近似全空间的高斯过程。

4. $M$（引入点数量）:

   • $M=2$：引入点的总数。

5. 核函数:

   • 平方指数核（Squared Exponential Kernel），核函数的选择直接影响模型的平滑性和灵活性。

6. 长度尺度（Length Scale）:

   • 控制核函数的宽度，这里假设为 1.0。

7. 输出方差（Output Variance）:

   • 核函数的高度，这里假设为 1.0。

8. ${\sigma }^2$（观测噪声方差）:

   • ${\sigma }^2=0.1$：数据的噪声水平，影响模型对数据的敏感程度。

9. $\mathbf{m}$（引入点的均值参数）:

   • 初始设置为 $\mathbf{m}=[0.0,0.0]$。

10. $\mathbf{S}$（引入点的协方差参数）:

• 初始设置为 $\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}1.0& 0.0\\ 0.0& 1.0\end{array}\right]$。

11. ${\mathbf{K}}_{MM}$（引入点间的核矩阵）:

• 计算所有引入点之间的核值。

12. ${\mathbf{K}}_{NM}$（训练点与引入点间的核矩阵）:

• 计算训练点与引入点之间的核值。

13. ${\mathbf{K}}_{\ast M}$（新数据点与引入点间的核矩阵）:

• 计算新数据点与引入点之间的核值。

14. ${\mathbf{K}}_{\ast \ast }$（新数据点自身的核矩阵）:

• 计算新数据点之间的核值。

15. 变分参数（Variational Parameters）:

• $\mathbf{m}$ 和 $\mathbf{S}$ 是在变分推断中优化的参数，用于近似后验分布。

python代码

本代码包含参数更新和预测：

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import mathclass SVGP(nn.Module):def __init__(self, inducing_points, kernel_scale=1.0, jitter=1e-6):super(SVGP, self).__init__()self.inducing_points = nn.Parameter(torch.tensor(inducing_points, dtype=torch.float32))self.kernel_scale = kernel_scaleself.jitter = jitterself.variational_mean = nn.Parameter(torch.zeros(self.inducing_points.shape[0]))self.variational_cov = nn.Parameter(torch.eye(self.inducing_points.shape[0]))def rbf_kernel(self, X, Y):dist = torch.cdist(X, Y)**2return torch.exp(-0.5 / self.kernel_scale * dist)def forward(self, X, y=None):# Calculate kernel matricesK_mm = self.rbf_kernel(self.inducing_points, self.inducing_points) + self.jitter * torch.eye(self.inducing_points.shape[0])K_nm = self.rbf_kernel(X, self.inducing_points)K_mn = K_nm.TK_nn = self.rbf_kernel(X, X)# Compute the inverse of K_mmK_mm_inv = torch.inverse(K_mm)# If training mode, optimize the variational parametersif y is not None:noise = 0.1  # Fixed noise for simplicityA = torch.mm(torch.mm(K_nm, K_mm_inv), K_mn) + torch.eye(X.shape[0]) * noiseB = torch.mm(torch.mm(K_nm, K_mm_inv), self.variational_mean.unsqueeze(1)).squeeze()# Compute the variational lower bound and gradients for optimization# Placeholder for actual ELBO calculationloss = torch.mean((y - B)**2) + torch.trace(A)return loss# If not training mode, do the predictionelse:# Predictive mean and variancemu_star = torch.mm(torch.mm(K_nm, K_mm_inv), self.variational_mean.unsqueeze(1)).squeeze()v_star = K_nn - torch.mm(torch.mm(K_nm, K_mm_inv), K_mn)return mu_star, v_stardef train_model(self, X_train, y_train, learning_rate=0.01, epochs=100):optimizer = torch.optim.Adam(self.parameters(), lr=learning_rate)self.train()for epoch in range(epochs):optimizer.zero_grad()loss = self.forward(X_train, y_train)loss.backward()optimizer.step()print(f'Epoch {epoch+1}, Loss: {loss.item()}')def predict(self, X_test):self.eval()mu_star, v_star = self.forward(X_test)return mu_star, v_star.diag()# Example usage
X_train = torch.tensor([[0.5], [1.5], [2.5], [3.5], [4.5]])
y_train = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 2.5, 1.5])
inducing_points = torch.tensor([[1.0], [4.0]])model = SVGP(inducing_points=inducing_points)
model.train_model(X_train, y_train)
mu_star, v_star = model.predict(torch.tensor([[2.0], [3.0]]))
print(f'Mean predictions: {mu_star}, Variances: {v_star}')

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