【Unity Shader入门精要 第4章】数学基础（一）

本文主要是介绍【Unity Shader入门精要 第4章】数学基础（一），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 坐标系

左手坐标系与右手坐标系

• 以拇指、食指和中指为参考
• 拇指指向X轴正方向
• 食指指向Y轴正方向
• 如果左手的中指与Z轴正方向一致，则为左手坐标系，否则为右手坐标系

旋转正方向

• 根据坐标系类型决定使用左手还是右手
• 握住旋转轴，使拇指方向与旋转轴的正方向一致（如左手坐标系中绕X轴旋转，此时用左手握住X轴，且拇指指向X轴正方向）
• 其余四指弯曲方向即为该旋转的正方向

Unity使用的坐标系

• 观察空间使用右手坐标系
• 其余空间均使用左手坐标系

2. 矢量

含义

• 表示一个方向和一个长度
• 本身不包含位置信息
• 由于矢量可以看作是一个指定方向的偏移量，因此，点可以看作是相对于坐标原点的偏移
• 长度为1的矢量称为单位矢量

点积

• 用 · 表示点乘运算， a · b
• 结果为标量
• 几何意义为投影，当b为单位向量时即为a在b方向上的有符号投影长度
• a · b = |a||b|cosθ = X_aX_b + Y_aY_b + Z_aZ_b

叉积

• 用 x 表示叉乘运算， a x b
• 结果为矢量
• 几何意义为a和b决定的平面的法向量
• a x b = （Y_aZ_b - Y_bZ_a, z_aX_b - Z_bX_z, X_aY_b - X_bY_a）（列出行列式再求会比较清楚）
• 从数学的角度看，结果矢量的长度 |a x b| = |a||b|sinθ
• 从空间几何的角度看，结果矢量的长度等于以a和b为临边，以θ为夹角，决定的平行四边形的面积。在碰撞检测领域往往会用叉积来等价aθb三角形的面积（实际是三角形面积的2倍）
• 结果矢量的方向，根据坐标系为左手坐标系或右手坐标系，遵循左手法则或右手法则。对于a x b ，以左手坐标系为例，该坐标系下遵循左手法则，左手四指与a的方向一致，四指弯曲方向可以理解为从a到b旋转，且旋转角度需要小于180°，此时拇指指向的就是结果矢量的方向。
• 可见，从a到b和从b到a时，拇指指向了相反的方向，因此叉乘不满足交换律，即 a x b ≠ b x a，二者的结果方向相反

3. 矩阵

• 矩阵的几何意义是变换（注意是变换而不是旋转，旋转矩阵只是变换矩阵的一种或者一部分）
• 常用于将矢量从一个坐标空间变换到另外一个坐标空间
• 一个N维矢量可以看作是一个1行N列的的行矩阵，也可以转置成为一个N行1列的列矩阵
• 一个MxN的矩阵和NxR的矩阵可以进行矩阵乘法，结果为一个MxR的矩阵
• 矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律

转置矩阵

• 行列交换称为转置，MxN的矩阵转置后得到一个NxM的矩阵
• M_ij^T = M_ji
• (M^T)^T = M
• (AB)^T = B^TA^T

逆矩阵

• 如果矩阵A与矩阵B的矩阵乘法结果为单位矩阵（I），则B为A的逆矩阵
• 并不是所有矩阵都存在逆矩阵，如果一个矩阵存在逆矩阵，则称该矩阵可逆
• 只有矩阵为方阵且其行列式求值结果不为0时，矩阵才可逆
• MM^-1= M^-1M= I
• (M^-1)^-1 = M
• (AB)^-1 = B^-1A^-1
• (M^T)^-1 = (M^-1)^T

正交矩阵

• 如果一个矩阵和他的转置矩阵可相乘，且结果为单位矩阵，则该矩阵为正交矩阵
• 可见，正交矩阵的转置矩阵也就是其逆矩阵，因此，当一个矩阵为正交矩阵时，可以用它的转置矩阵代替逆矩阵，因为求转置矩阵的速度通常要比求逆矩阵快得多
• MM^T= M^-1M= I
• M^T= M^-1

4. 齐次坐标

• 对于一个三维矢量，如果只做旋转、缩放这样的线性变换，我们可以通过一个3x3的矩阵统一表示所有变换，而如果该矢量还会进行平移这样的非线性变换，则一个3x3的矩阵就无法对所有类型的变换进行统一表示
• 为了满足用一个变换矩阵可以囊括游戏内所有变换的要求，我们需要用一个4x4的矩阵作为变换矩阵来进行仿射变换
• 相应的，原始的三维矢量也需要升维成为四维矢量，才能和这个4x4的变换矩阵进行矩阵乘法
• 升维后的四维矢量（也就是一个四维的点坐标）称为齐次坐标，其对应的四维空间称为齐次坐标空间
• 为了使变换操作结果正确不丢失信息，升维后的w分量有特殊的规定，用于表示点的三位矢量，升维后w分量为1，以免变换时丢失空间位置信息。用于表示向量的三位矢量，因为向量不包含空间位置信息，升维后w分量为0

5. 基础变换矩阵

一个变换矩阵的基本结构如下

$$\left(\begin{array}{cc}M3\ast 3& T3\ast 1\\ O1\ast 3& 1\end{array}\right)$$

• 左上M_3*3：用于旋转变换、缩放变换的3*3矩阵
• 右上T_3*1：用于平移变换的3*1列矩阵
• 左下O_1*3：1*3的零矩阵
• 右下1：标量常数

只含有纯缩放、纯旋转、纯平移的矩阵称为基础变换矩阵，也就是该矩阵一次只能对目标进行一种基本的变换行为

平移矩阵

只进行平移变换的矩阵，只需要设置右上T_3*1 的部分，得到 T 的形式如下：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& Tx\\ 0& 1& 0& Ty\\ 0& 0& 1& Tz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 对于某一点P，可以表示为4 * 1的列矩阵
  $$\left(\begin{array}{c}Px\\ Py\\ Pz\\ 1\end{array}\right)$$
  当对点P进行平移变换时，即T*P，其结果为
  $$\left(\begin{array}{c}Px+Tx\\ Py+Ty\\ Pz+Tz\\ 1\end{array}\right)$$
• 对于某一向量V，可以表示为4 * 1的列矩阵
  $$\left(\begin{array}{c}Vx\\ Vy\\ Vz\\ 0\end{array}\right)$$
  当对向量V进行平移变换时，即T*V，其结果仍为
  $$\left(\begin{array}{c}Vx\\ Vy\\ Vz\\ 0\end{array}\right)$$
• 由于点包含空间位置信息，因此将其w分量设置为1，进行平移变换后不会丢失点的位置信息
• 由于向量本身就不包含空间位置信息，因此将其w分量设置为0，即使进行平移变换，也不会对向量产生影响
• 另外也可以看出，当发生平移时，即T_xT_yT_z不全为0时，T*T^T一定不是单位矩阵，所以平移矩阵不是正交矩阵

缩放矩阵

只进行缩放变换的矩阵，只需要设置左上M_3*3 的部分，得到 S 的形式如下：
$$\left(\begin{array}{cccc}Kx& 0& 0& 0\\ 0& Ky& 0& 0\\ 0& 0& Kz& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 当对点P进行平移变换时，即S * P，其结果为
  $$\left(\begin{array}{c}Kx\ast Px\\ Ky\ast Py\\ Kz\ast Pz\\ 1\end{array}\right)$$
• 当对向量V进行平移变换时，即K * V，其结果为
  $$\left(\begin{array}{c}Kx\ast Vx\\ Ky\ast Vy\\ Kz\ast Vz\\ 0\end{array}\right)$$

可见缩放矩阵对于点和向量都可以产生正确的缩放效果

另外，当K_x = K_y = K_z = K 时，称为统一缩放，此时缩放矩阵S变为
$$\left(\begin{array}{cccc}K& 0& 0& 0\\ 0& K& 0& 0\\ 0& 0& K& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

显然其逆矩阵为
$$\left(\begin{array}{cccc}1/K& 0& 0& 0\\ 0& 1/K& 0& 0\\ 0& 0& 1/K& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

旋转矩阵

只进行旋转变换的矩阵，仍然只需要设置左上M_3*3 的部分

基础变换矩阵中的旋转矩阵是只针对单个坐标轴进行旋转的变换矩阵，对于针对XYZ轴旋转θ°的旋转矩阵R_x(θ)、R_y(θ)、R_z(θ)分别为：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
可见旋转矩阵一定是正交矩阵

复合变换

基础变换一次只能对目标进行平移、缩放以及单一坐标轴的旋转变换，如果要对目标同时进行多个变换（比如Transform组件里同时设置了Position、Scale、多个轴的Rotation），就需要通过复合变换的方式实现。

在进行复合变换时，为了保证结果的一致性，多个变换的先后执行顺序就显得尤为重要，经过分析我们可以发现，复合变换需要规定的顺序存在于以下两种情况中：

• 同时存在平移、旋转、缩放中的两种或三种变换
• 同时存在X、Y、Z轴中的两个或三个轴的变换

因此，在Unity中，针对这两种情况做如下约定：

• 当同时存在多种变换时，先进行缩放变换，再进行旋转变换，最后进行平移变换，即： P_New = M_Translation * M_Rotation * M_Scale * P_Old
• 当同时存在多个轴的旋转变换时，按照ZXY的顺序计算最终旋转变换矩阵，注意，这里其实是按照ZXY的顺序计算出一个最终的旋转变换矩阵M_Rotation，然后将M_Rotation带入上边多个变换同时存在的情况进行计算，而不是按照ZXY的顺序依次跟目标相乘。这样做的目的是为了保证在一次变换中，即使同时存在多个轴的旋转，也不会导致坐标轴在旋转进行一半的时候被改变方向。因此，实际的变换公式为P_New = M_Translation * （M_RotationZ * M_RotationX * M_RotationY） * M_Scale * P_Old，而不是P_New = M_Translation * M_RotationY * M_RotationX * M_RotationZ * M_Scale * P_Old

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