python:根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云

2024-04-25 07:12
文章标签 python 转换 旋转 矩阵 原始 点云 平移 后点 求取

本文主要是介绍python:根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云

  • 原始点云进行旋转平移
    • 示例 1
    • 示例 2
    • 示例 3
    • 示例 4
  • 根据转换后点云及转换矩阵求原始点云
    • 示例 1
    • 示例 2
    • 示例 3
    • 示例 4

原始点云进行旋转平移

转换前的点云可以表示为一个N行3列的矩阵，每一行代表一个点的坐标。我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。假设转换矩阵为RT，要求转换后的点云，可以通过以下公式推导得到：

新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T
或者：
转换后点云 = 转换矩阵 * 转换前点云

具体推导过程如下：

  1. 定义转换矩阵T
    RT = [R | t]
    其中R是一个3x3的旋转矩阵，t是一个3x1的平移向量。
    如给定三维空间旋转平移矩阵4*4：

    | r11 r12 r13 tx |
| r21 r22 r23 ty |
| r31 r32 r33 tz |
|  0   0   0  1 |

    其中，r11到r33为旋转矩阵的元素，tx、ty、tz为平移向量的元素。

    假设点云中的点为P = (x, y, z, 1)，将其转换到B坐标系中的点为P’ = (x’, y’, z’, 1)。
    转换公式为：

    x' = r11*x + r12*y + r13*z + tx
y' = r21*x + r22*y + r23*z + ty
z' = r31*x + r32*y + r33*z + tz

    其中，x、y、z为点P的坐标，x’、y’、z’为点P’的坐标。

  2. 转换前点云矩阵表示
    转换前点云矩阵表示为N行3列的矩阵P。

  3. 转换后点云计算
    转换后点云可以通过矩阵相乘得到：
    转换后点云 = P * T

示例 1

下面是Python代码实现：

import numpy as npdef transform_points(points, transform_matrix):"""将点云坐标系为A的点云通过转换矩阵转换为坐标系为B的点云:param points: 点云坐标系为A的点云，形状为(n, 4)，其中n为点的个数，每个点为(x, y, z, 1):param transform_matrix: 转换矩阵，形状为(4, 4):return: 坐标系为B的点云，形状为(n, 4)"""# 添加最后一列，将点云表示为齐次坐标形式points_homogeneous = np.concatenate((points, np.ones((points.shape[0], 1))), axis=1)# 转换点云坐标transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, transform_matrix.T)```# 或者也可以写成下面形式# transformed_points_homogeneous = np.dot(transform_matrix.T, points_homogeneous).T# 可以将RT矩阵拆开成R、t；可写成# transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, R) + t   # 推荐# 或者transformed_points_homogeneous = np.dot(R, points_homogeneous.T).T + t  # 会有误差# ```# 归一化处理，将齐次坐标转换为三维坐标transformed_points = transformed_points_homogeneous[:, :3] / transformed_points_homogeneous[:, 3:]return transformed_points

使用示例：

points_A = np.array([[1, 0, 0, 1],[0, 1, 0, 1],[0, 0, 1, 1],[1, 1, 1, 1],[2, 2, 2, 1]])transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],[0, 1, 0, 1],[0, 0, 1, 1],[0, 0, 0, 1]])points_B = transform_points(points_A, transform_matrix)
print(points_B)

输出结果：

[[2. 1. 1.][1. 2. 1.][1. 1. 2.][2. 2. 2.][3. 3. 3.]]

示例 2

首先，假设点云的坐标为 (x, y, z) 和齐次坐标 w，即点云的坐标可以表示为 (x, y, z, w)。

然后，我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。点云的转换可以表示为：

新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T

其中，旋转矩阵 R 是一个 3x3 的矩阵，平移矩阵 T 是一个 3x1 的矩阵。对于每个点云坐标 (x, y, z, w)，我们得到转换后的坐标 (x’, y’, z’, w’)：

x’ = R11 * x + R12 * y + R13 * z + T1
y’ = R21 * x + R22 * y + R23 * z + T2
z’ = R31 * x + R32 * y + R33 * z + T3
w’ = w

现在，我们需要将这个公式转换为代码实现。

首先，导入必要的库：

import numpy as np

然后，定义一个函数来进行点云的转换：

def transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix):# 添加齐次坐标 wpoints = np.hstack((points, np.ones((points.shape[0], 1))))# 点云转换transformed_points = np.dot(rotation_matrix, points.T).T + translation_matrixreturn transformed_points

在这个函数中，我们首先将点云添加齐次坐标 w。然后，使用矩阵乘法进行点云的转换，并添加平移矩阵。最后，返回转换后的点云。

使用这个函数，我们可以对点云进行转换。假设我们有一个点云矩阵 points，旋转矩阵 rotation_matrix 和平移矩阵 translation_matrix，我们可以这样调用函数：

transformed_points = transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix)

这样，我们就得到了转换后的点云 transformed_points。

示例 3

要将三维点云通过旋转和平移转换到另一个坐标系，可以使用齐次坐标表示点云和转换矩阵。齐次坐标是将三维坐标和平移合并到一个4维向量中的一种方法。

点云的齐次坐标表示为 [x, y, z, 1]T，其中T表示转置。转换矩阵是一个4*4的矩阵，将点云从一个坐标系转换到另一个坐标系。转换矩阵的形式如下：

R11 R12 R13 T1
R21 R22 R23 T2
R31 R32 R33 T3
0   0   0   1

其中R表示旋转矩阵，T表示平移矩阵。

点云的转换公式如下：

p_new = M * p

其中p_new是转换后的点云，M是转换矩阵，p是原始点云。

下面是Python代码实现：

import numpy as np# 原始点云
point_cloud = np.array([[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], [x3, y3, z3], [x4, y4, z4], [x5, y5, z5]])# 转换矩阵
transform_matrix = np.array([[R11, R12, R13, T1],[R21, R22, R23, T2],[R31, R32, R33, T3],[0,   0,   0,   1]])# 添加齐次坐标
point_cloud_homo = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))# 转换点云
transformed_point_cloud_homo = np.dot(transform_matrix, point_cloud_homo.T).T# 去除齐次坐标
transformed_point_cloud = transformed_point_cloud_homo[:, :3]print(transformed_point_cloud)

这样就可以得到转换后的点云 transformed_point_cloud。

示例 4

假设点云为N * 4的矩阵，每行表示一个点的坐标[x, y, z, 1]，旋转矩阵为R，平移向量为T。

  1. 公式推导
    将点云矩阵与旋转平移矩阵相乘，得到转换后的点云矩阵：
    P’ = P * [R | T]
    其中，P为原始点云矩阵，P’为转换后的点云矩阵，[R | T]为旋转平移矩阵。

  2. 代码实现
    可以使用NumPy库来进行矩阵运算。

import numpy as npdef transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector):# 将点云矩阵扩展为N * 4矩阵point_cloud = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))# 转换点云transformed_point_cloud = np.dot(point_cloud, np.vstack((rotation_matrix, translation_vector)))return transformed_point_cloud# 示例点云
point_cloud = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]])# 示例旋转平移矩阵
rotation_matrix = np.array([[1, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1]])
translation_vector = np.array([0, 0, 0])# 转换点云
transformed_point_cloud = transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector)print(transformed_point_cloud)

这样，通过传入点云矩阵、旋转矩阵和平移向量，就可以得到转换后的点云矩阵。

根据转换后点云及转换矩阵求原始点云

要求原始点云N3，已知转换后的点云N3和转换矩阵，可以通过反向计算得到原始点云。

假设转换矩阵为T，原始点云为P，转换后的点云为P’，则有以下关系：

P’ = T * P

其中P和P’都是列向量，T是一个4x4的齐次变换矩阵。

要求原始点云P，可以通过反向计算得到：

P = inverse(T) * P’

其中inverse(T)表示T的逆矩阵。

假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，转换后点云为P_transformed。则可以使用以下代码求得原始点云P_original：

import numpy as np# 旋转平移矩阵
R = np.array([[r11, r12, r13],[r21, r22, r23],[r31, r32, r33]])# 平移向量
T = np.array([tx, ty, tz])# 转换后点云
P_transformed = np.array([[x1, y1, z1],[x2, y2, z2],[x3, y3, z3],[x4, y4, z4]])# 求逆矩阵
R_inv = np.linalg.inv(R)# 原始点云
P_original = np.dot(P_transformed - T, R_inv)  # 推荐print(P_original)

其中，r11, r12, r13, r21, r22, r23, r31, r32, r33为旋转矩阵的元素，tx, ty, tz为平移向量的元素，x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, x4, y4, z4为转换后点云的坐标。将上述代码中的矩阵元素和坐标值替换为实际的数值，并运行代码，即可得到原始点云P_original。

示例 1

在Python中，可以使用numpy库来进行矩阵运算。具体代码如下：

import numpy as npdef calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points):inverse_transform_matrix = np.linalg.inv(transform_matrix)original_points = np.dot(inverse_transform_matrix, transformed_points.T).T # 会有误差return original_points

示例数据

transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],[0, 1, 0, 2],[0, 0, 1, 3],[0, 0, 0, 1]])transformed_points = np.array([[2, 3, 4],[3, 4, 5],[4, 5, 6]])original_points = calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points)
print(original_points)
输出结果为：
[[-1.  0.  1.][-2. -1.  0.][-3. -2. -1.]]

这样就可以得到原始点云的坐标了。

示例 2

要根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云，需要进行逆运算。

假设有旋转矩阵 R 和平移向量 t，以及转换后的点云 P’。那么原始点云 P 可以通过以下公式计算得到：

P = R^(-1) * (P’ - t)

其中，R^(-1) 表示 R 的逆矩阵。

在 Python 中，可以使用 NumPy 库来进行矩阵操作。下面是一个示例代码：

import numpy as np# 定义旋转矩阵 R 和平移向量 t
R = np.array([[1, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1]])  # 假设为单位矩阵
t = np.array([0, 0, 0])  # 假设为零向量# 定义转换后的点云 P'
P_prime = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]])# 计算旋转矩阵的逆
R_inv = np.linalg.inv(R)# 计算原始点云 P
P = np.dot(R_inv, (P_prime - t).T).T
# 或者
# P = np.dot((P_prime - t), R_inv)# 打印原始点云 P
print(P)

这个示例代码中，旋转矩阵 R 被定义为单位矩阵，平移向量 t 被定义为零向量。转换后的点云 P’ 被定义为一个 3x3 的矩阵。

可以根据实际情况修改旋转矩阵 R、平移向量 t 和转换后的点云 P’ 来计算对应的原始点云 P。

示例 3

要根据旋转平移矩阵和转换后的点云，求得原始点云，可以使用以下步骤：

  1. 首先，计算旋转平移矩阵的逆矩阵。假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，则逆矩阵为R_inv。

  2. 然后，对于转换后点云的每个点P’，将其转换为齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[P’x, P’y, P’z, 1]。

  3. 接下来，利用逆矩阵R_inv将齐次坐标形式的点P’转换为原始点P，即P = R_inv * P’。

  4. 最后，将原始点P去除齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[Px, Py, Pz]。

以下是一个示例代码：

import numpy as np# 转换后的点云，shape为(4, 3)
transformed_points = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9],[10, 11, 12]])# 旋转平移矩阵，shape为(3, 3)
rotation_matrix = np.array([[0.866, -0.5, 0],[0.5, 0.866, 0],[0, 0, 1]])# 平移向量，shape为(3, 1)
translation_vector = np.array([[1],[2],[3]])# 计算逆矩阵
rotation_matrix_inv = np.linalg.inv(rotation_matrix)# 转换后点云的齐次坐标形式
homogeneous_transformed_points = np.hstack((transformed_points, np.ones((4, 1))))# 原始点云
original_points = np.dot(rotation_matrix_inv, homogeneous_transformed_points.T)
original_points = original_points.T - np.dot(rotation_matrix_inv, translation_vector)# 去除齐次坐标形式
original_points = original_points[:, :3]print(original_points)

这样，原始点云就被计算出来了。注意，这里使用的是3x3的旋转平移矩阵，如果你的矩阵不是这个形式，需要适当修改代码。

示例 4

要根据旋转平移矩阵及转换后的点云来求得原始点云，需要使用逆变换操作。

首先，我们假设旋转平移矩阵为R，平移向量为t，转换后的点云为P_transformed，原始点云为P_original。

逆变换操作可以用以下公式表示：

P_original = R_inv * (P_transformed - t)

其中，R_inv表示矩阵R的逆矩阵。

以下是使用Python代码实现这个操作的示例：

import numpy as np# 定义旋转平移矩阵R和平移向量t
R = np.array([[1, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1]])
t = np.array([[1],[2],[3]])# 定义转换后的点云P_transformed
P_transformed = np.array([[2, 3, 4],[5, 6, 7],[8, 9, 10],[11, 12, 13]])# 计算矩阵R的逆矩阵R_inv
R_inv = np.linalg.inv(R)# 进行逆变换操作，求得原始点云P_original
P_original = np.dot(R_inv, P_transformed.T - t).T# 打印结果
print(P_original)

这样，就可以根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云。

这篇关于python:根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/934010。

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