python 数学+减治、下一个排列法、DFS回溯法实现：第 k 个排列【LeetCode 题目 60】

本文主要是介绍python 数学+减治、下一个排列法、DFS回溯法实现：第 k 个排列【LeetCode 题目 60】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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题目描述

给出集合 [1,2,3,...,n]，其所有元素共有 n! 种排列。按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

• “123”
• “132”
• “213”
• “231”
• “312”
• “321”

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

输入格式

• n：一个整数，表示集合的大小。
• k：一个整数，表示所求的排列序号。

输出格式

• 返回一个字符串，表示第 k 个排列。

示例 1

输入: n = 3, k = 3
输出: "213"

示例 2

输入: n = 4, k = 9
输出: "2314"

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方法一：数学 + 减治法

解题步骤

1. 计算阶乘：首先计算所有小于等于 n 的数字的阶乘，这有助于后续确定每位数字的位置。
2. 确定每位数字：从最高位开始，根据阶乘数确定每一位在剩余数字中的位置。
3. 更新 k 值：更新 k 为 k 减去前面已确定位的组合数。
4. 重复选择数字：直到所有位置都填满。

完整的规范代码

def getPermutation(n, k):"""使用数学方法和减治法获取第k个排列:param n: int, 集合的大小:param k: int, 排列的序号:return: str, 第k个排列"""factorial = [1] * nfor i in range(1, n):factorial[i] = factorial[i - 1] * ik -= 1  # 转换成索引answer = []numbers = list(range(1, n + 1))for i in range(1, n + 1):index = k // factorial[n - i]answer.append(str(numbers.pop(index)))k %= factorial[n - i]return ''.join(answer)# 示例调用
print(getPermutation(3, 3))  # 输出: "213"
print(getPermutation(4, 9))  # 输出: "2314"

算法分析

• 时间复杂度：(O(n^2))，计算阶乘数组为 (O(n))，确定每一位数字为 (O(n^2))（因为每次都要从列表中删除元素）。
• 空间复杂度：(O(n))，存储阶乘数组和数字列表。

方法二：下一个排列法

解题步骤

1. 生成最小排列：首先生成 [1,2,...,n]。
2. 应用 next permutation：应用 k-1 次“下一个排列”算法得到第 k 个排列。

完整的规范代码

def getPermutation(n, k):"""使用next permutation方法获取第k个排列:param n: int, 集合的大小:param k: int, 排列的序号:return: str, 第k个排列"""def next_permutation(nums):i = j = len(nums) - 1while i > 0 and nums[i-1] >= nums[i]:i -= 1if i == 0:   # nums are in descending ordernums.reverse()returnk = i - 1    # find the last "ascending" positionwhile nums[j] <= nums[k]:j -= 1nums[k], nums[j] = nums[j], nums[k]  l, r = k+1, len(nums)-1  # reverse the second partwhile l < r:nums[l],nums[r] = nums[r], nums[l]l +=1; r -= 1nums = list(range(1, n + 1))for _ in range(k - 1):next_permutation(nums)return ''.join(map(str, nums))# 示例调用
print(getPermutation(3, 3))  # 输出: "213"
print(getPermutation(4, 9))  # 输出: "2314"

算法分析

• 时间复杂度：(O(n \times k))，每次生成下一个排列需要 (O(n)) 时间。
• 空间复杂度：(O(n))，存储数字列表。

方法三：DFS回溯法

解题步骤

1. DFS遍历：使用深度优先搜索遍历所有可能的排列。
2. 计数并返回：当遍历到第 k 个排列时立即返回。

完整的规范代码

def getPermutation(n, k):"""使用DFS回溯法获取第k个排列:param n: int, 集合的大小:param k: int, 排列的序号:return: str, 第k个排列"""def dfs(path):nonlocal countif len(path) == n:count += 1if count == k:return pathreturnfor number in range(1, n+1):if number in path:continueres = dfs(path + [number])if res:return rescount = 0result = dfs([])return ''.join(map(str, result)) if result else ""# 示例调用
print(getPermutation(3, 3))  # 输出: "213"
print(getPermutation(4, 9))  # 输出: "2314"

算法分析

• 时间复杂度：(O(n!))，理论上需要遍历所有排列。
• 空间复杂度：(O(n))，递归深度为 n。

不同算法的优劣势对比

应用示例详解：密码生成系统

场景描述

在密码生成和密码管理软件中，经常需要生成复杂且难以预测的密码来增加安全性。使用“第 k 个排列”算法可以在预定义字符集上生成随机但确定的密码，适用于需要高安全性的应用场景，如在线银行、军事通信等。

方法：数学+减治法

技术选择：
选择方法一（数学+减治法），因为它可以直接计算出第 k 个排列而无需生成所有排列，提高了生成效率和保密性。

实现步骤：

1. 选择字符集：定义一个字符集，例如包含大小写字母和数字 [1-9, a-z, A-Z]。
2. 计算阶乘：预先计算出所有小于字符集大小的阶乘，用于后续计算排列位置。
3. 确定每位字符：根据阶乘和 k 值，快速确定每一位置上的字符，直接计算出第 k 个排列。
4. 生成密码：将计算出的排列作为密码，提供给用户或用于加密应用。

代码实现：

def getPermutation(characters, k):"""使用数学方法和减治法基于给定字符集生成密码:param characters: str, 字符集:param k: int, 指定的排列序号:return: str, 生成的密码（排列）"""n = len(characters)factorial = [1] * (n + 1)for i in range(2, n + 1):factorial[i] = factorial[i - 1] * ik -= 1  # 转换为基于0的索引answer = []numbers = list(characters)for i in range(1, n + 1):index = k // factorial[n - i]answer.append(numbers.pop(index))k %= factorial[n - i]return ''.join(answer)# 示例调用
chars = "123456789ABCDEF"
k = 9432
print(getPermutation(chars, k))  # 输出: 第9432个排列

应用优势

• 效率高：直接计算第 k 个排列，无需枚举所有可能，适合实时密码生成需求。
• 安全性强：密码的生成基于数学计算，没有明显的规律，安全性高。
• 适用性广：可根据不同的字符集和需求灵活定制密码生成策略。

总结

通过在密码生成系统中应用“第 k 个排列”算法，开发者可以提供一种高效且安全的方式来生成复杂密码。此外，该算法的高计算效率和确定性也使其成为理想的选择，用于需要快速生成大量密码或密钥的场合，比如动态令牌生成、临时密码分配等。此方法不仅优化了密码生成过程，也极大提高了密码管理系统的整体安全性。

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