从图割到图像分割 - 最大流算法

《算法导论》对最大流的介绍是：最大流问题是关于流网络的最简单的问题，它提出这样的问题：在不违背容量限制的条件下，把物质从源点传输到汇点的最大速率是多少？

更多关于网络流的介绍请看网络流wiki

我最初接触最大流问题是在2011年，那时候我大四，刚保研完，去问导师我需要看哪些方面的书，老板说去把《算法导论》图论相关，以及把最大流最小割算法仔细看一遍。

图论算法在众多算法中算是比较复杂的了，首先读入数据需要构建邻接矩阵，然后再进行求解，求解过程显得并不是很直观。当时我对最大流最小割算法本身就不是很明了，更不明白如何可以应用到图像分割中，现在终于有些体会。

最大流算法

从算法导论书中，最大流算法分为两种：

1. Ford-Fulkerson方法：书上对该“方法”进行了解释，之所以称作“方法”而不是“算法”，是因为Ford-Fulkerson方法是一种思想，而对这思想的实现，有不同的优化方法

以Ford-Fulkerson方法为思想的最快算法为：

Dinic算法时间复杂度为： O(n2m) ，其中n为顶点数，m为边数

1. 压入重标记方法(push-relabel)：这同样也是一种思想，具体实现也有不同的优化实现方法。

基于压入重标记方法(push-relabel)方法的最快的方法有两种：

H_PRF时间复杂度为（最坏） O(n2m−−√)

Q_PRF时间复杂度为（最坏） O(n3)

最大流=>最小割

决定最大流算法能够应用在图像分割的原因，就在于这条定理了

割的定义：

流网络 G=(V,E) 的割 (S,T) 将 V 划分为 S 和 T=V−S 两部分，使得 s∈S,t∈T 。如果 f 是一个流，则穿过割 (S,T) 的净流被定义为 f(S,T) ，割 (S,T) 的容量为 c(S,T) 。一个网络的最小割也就是网络中所有割中具有最小容量的割。

最大流最小割定理
如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G=(V,E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

• f 是 G 的一个最大流
• 残留网络$Gf$不包含增广路径
• 对于 G 的某个割 (S,T) ，有 f=c(S,T)

其中第三条，说明最大流的值实际上等于某一最小割的容量，即可以用最大流来求取最小割：
$$|f|=f(S,T)=\sum{u\in{S}}\sum{v\in{T}}f(u,v)\leq\sum{u\in{S}}\sum{v\in{T}}c(u,v)$$

为何可以用最小割算法来分割图像？

这个问题我刚接触图割的时候，就想了很久，刚开始我在直观上比较难理解

首先，要理解，最大流算法得到的最小割有什么意义？如果写过最大流算法，或者看明白最大流算法的都知道，在一个增广路径中，限制流容量增加的，就是其中具有最小流量的路径，如果将流从 S 向 T 推送，最终将形成由“最小容量”的一个割，这个割就是最小割，由这些“最小容量”的容量加起来即为最大流（实际上称作最大净流好些）

其次，图像是可以看作由一个个像素组成的巨大图，假设我将像素一一用边连接起来，则这些像素点会成为这个巨大图网络的顶点，如果能利用最大流算法，求取其最小割，通过最小割分开的顶点就是边权值相对较小的点，假设我边的权值与顶点间的相似度成正比，那么最小割分开的顶点就是相似度最小的点，即，通过最大流算法，我们将图像分成了一块块相似的像素区，这不就是图像分割吗？

最后，那么从源点能流出多少流呢？从汇点又能接收多少流呢？如果都是无穷大，那还会形成分割吗？显然这是需要限制的。如果从像素点中选出两个点，一个作为源点，一个作为汇点，图像中其它点与源点的相似度作为流入的流量，与汇点的相似度作为流出的流量，则应用最大流算法得到的结果，即将点分为两部分，一部分属于“相似于”源点，一部分“相似于”汇点，而又由于像素点两两相连，为保证像素间的光滑性，会产生相对光滑的分界。

实际中，像素点连接源点或汇点的边叫做T-Link、像素点相互连接的边叫做N-Link、T-link的构造当然要比上述我说的要复杂，而N-Link也不要求要两两相连，T-Link约束了像素点与给顶点的相似性，而N-Link约束了像素点之间的光滑性。

在Paper中，对构图的描述方式不一样，一般描述为目标函数为一个能量函数，而这个能量函数的优化，可以转化为一个最小割方法来求解。

Min-Cut/Max-Flow

讲到最大流最小割算法，不得不提到大名鼎鼎的Boykov和Kolmogorov，这两位牛人在2004年图像领域最顶级杂志TPAMI的一篇文章：An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for Energy Minimization in Vision，讲述了如何将图像分割转化为一个能量函数优化问题，并且如何用最大流最小割算法对其进行优化，此外，他们提供了开源的代码库，提供了非常友好的接口给相关研究者调用，从而使得基于图割的图像分割思想广泛应用，其中包括后来大名鼎鼎的Lazy Snapping和Grab Cut。像Photoshop，美图秀秀等基于交互式分割得到目标的功能基本源于图割方法。

图割方法在之前的图像分割领域并非没有用过，之所以后来应用广泛，我认为很大一部分原因得益于开源代码库：实现一个最大流算法并非特别难的事，但如何高效实现，以及由于图像像素点很多，如何有效管理实现过程中的内存分配，及如何提供一个简单易用的接口，恐怕是绝大部分之前的人研究遇到的难点。

Boykov和Kolmogorov在文章中提出的maxflow算法是一种增广路径算法，其方法的时间复杂度为 O(n2m|C|) 。从理论上讲，其时间复杂度大于以上三种，但实际的表现效果，优于以上所有（我猜应该是与图像所构成的图的特殊结构有关）。

算法可分为三个步骤：

• “growth” stage: search trees S and T grow until they touch giving an s → t path
• “augmentation” stage: the found path is augmented, search tree(s) break into forest(s)
• “adoption” stage: trees S and T are restored.

伪代码

      
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initialize: S = {s}, T = {t}, A = {s, t}, O = ∅
while true
grow S or T to find an augmenting path P from s to t
	if P = ∅ terminate
augment on P
adopt orphans
end while

步骤分为三步，基本与增广路径算法一致，其从S和T分别开始搜索，实际就是双向广搜，分别维持着一个属于S的队列和一个属于T的队列，当S的队列找到下一个节点，并发现下一个节点属于T的队列时，进行增广，并记录瓶颈流（bottleneck flow）所在位置，由于这些瓶颈流在增广后被移除，变为0后，需要重新看还有否必要将这些节点放入到队列中，这一步叫做adoption。名字还挺不错:)

具体可见代码实现，由于其给出的库是由Template方式编写，而且用了一些自己定义数据结构，所以代码不易看懂，需要耐心体会。