龙格库塔法c语言,龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程

1.龙格库塔法的基本原理

该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的拉格朗日中值定理有：

对于微分方程

y'=f(x,y)

y(n+1)=y(n)+h*K1

K1=f(xn,yn)

当用点xn处的斜率近似值K1与右端点xn+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理：

y(n+1)=y(n)+[h*( K1+ K2)/2]

K1=f(xn,yn)

K2=f(x(n)+h,y(n)+h*K1)

依次类推，如果在区间[xn,xn+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

y(n+1)=y(n)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(x(n),y(n))

K2=f(x(n)+h/2,y(n)+h*K1/2)

K3=f(x(n)+h/2,y(n)+h*K2/2)

K4=f(x(n)+h,y(n)+h*K3)

注：

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

2.龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

经典四阶法

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。[1]

令初值问题表述如下。

image

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

image

其中