2024.01.08 线性回归

2024.01.08 线性回归

因为学习大模型的微调遇到了障碍，所以回头再快速看一遍深度学习的原理。都是一些基础内容。。。

https://zh.d2l.ai/chapter_linear-networks/linear-regression-scratch.html

线性回归原理

线性回归模型的训练过程就是最小化损失函数的过程。

1 线性回归模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
$$\mathrm{price}=w_{\mathrm{area}}\cdot \mathrm{area}+w_{\mathrm{age}}\cdot \mathrm{age}+b$$
其中$w_{\mathrm{area}}$和$w_{\mathrm{age}}$称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 $b$称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重$w$和偏置$b$， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含$d$个特征时，我们将预测结果$\hat{y}$（通常使用“尖角”符号表示$y$的估计值）表示为：
$$\hat{y}=w_1{x}_1+\dots +w_d{x}_d+b$$
将所有特征放到向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$中， 并将所有权重放到向量$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$ 中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型：
$$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b$$
其中向量$\mathbf{x}$对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$可以很方便地引用我们整个数据集的n个样本。其中，$\mathbf{X}$的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合$\mathbf{X}$，预测值$\hat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^n$可以通过矩阵-向量乘法表示为：
$$\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{Xw}+b$$

2 损失函数

损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本$i$的预测值为${\hat{y}}^{(i)}$，其相应的真实标签为$y^{(i)}$时， 平方误差可以定义为以下公式：
$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2$$
常数$\frac{1}{2}$不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值${\hat{y}}^{(i)}$和观测值$y^{(i)}$之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）。
$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}{)}^2$$
在训练模型时，我们希望寻找一组参数$\left({\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }\right)$， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：
$${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=\underset{\mathbf{w},b}{\mathrm{argmin}}L(\mathbf{w},b).$$

3 随机梯度下降

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\partial$表示偏导数）：
$$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)$$
总结一下，算法的步骤如下： （1）初始化模型参数的值，如随机初始化； （2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。 对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
$$\begin{array}{c}\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right),\\ \begin{array}{r}b\leftarrow b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}\end{array}$$
上述公式中的$\mathbf{w}$和$\mathbf{x}$都是向量。$|\mathcal{B}|$表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。$\eta$表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

线性回归从零开始实现

1 构造数据集

构造一个y=Xw+b+噪声的数据集

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save"""生成y=Xw+b+噪声"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])

输出：

features: tensor([-0.7715,  0.4212]) 
label: tensor([1.2321])

2 定义数据集的bach_size

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序random.shuffle(indices)for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

batch_size = 10for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):print(X, '\n', y)break

输出：

tensor([[-0.5022,  0.7038],[-0.2006, -1.7286],[-0.1174,  0.8104],[ 1.1591,  2.5481],[-0.8888, -1.1390],[-1.7663,  0.0730],[-0.3518,  0.8524],[ 1.8939, -0.9266],[ 0.6197,  0.0300],[-0.9234, -0.1029]]) tensor([[ 0.8005],[ 9.6945],[ 1.2068],[-2.1388],[ 6.2942],[ 0.4365],[ 0.5955],[11.1636],[ 5.3342],[ 2.7098]])

3 初始化模型参数w和b

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

4 定义线性回归模型

def linreg(X, w, b):"""线性回归模型"""return torch.matmul(X, w) + b

5 定义损失函数

def squared_loss(y_hat, y):"""均方损失"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

6 定义优化算法

def sgd(params, lr, batch_size):"""小批量随机梯度下降"""with torch.no_grad():for param in params:param -= lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()

7 训练

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_lossfor epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失# 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，# 并以此计算关于[w,b]的梯度l.sum().backward()sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

输出：

epoch 1, loss 0.038077
epoch 2, loss 0.000137
epoch 3, loss 0.000047

误差分析：

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

输出：

w的估计误差: tensor([0.0002, 0.0004], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([-0.0002], grad_fn=<RsubBackward1>)

线性回归的简洁实现

1 构造数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import datadef synthetic_data(w, b, num_examples):"""生成y=Xw+b+噪声"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

2 构造dataset迭代器

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):"""构造一个PyTorch数据迭代器"""dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

3 定义模型

from torch import nn
net = nn.Sequential(nn.Linear(2,1))

4 初始化参数

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

5 定义损失函数

loss = nn.MSELoss()

6 定义优化算法

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

7 训练

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter:l = loss(net(X) ,y)trainer.zero_grad()l.backward()trainer.step()l = loss(net(features), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

输出

epoch 1, loss 0.000425
epoch 2, loss 0.000099
epoch 3, loss 0.000098

w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

输出

w的估计误差： tensor([0.0004, 0.0006])
b的估计误差： tensor([-9.5367e-06])

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