《微积分：一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件

本文主要是介绍《微积分：一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有 $f'(x)=0$

判断极值的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续，且在 x0 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_{0},\delta)$ 内可导

$(x_{0}-\delta,x_{0})$	$(x_{0},x_{0}+\delta)$
$f'(x)<0$	$f'(x)>0$	x0 极小值点
$f'(x)>0$	$f'(x)<0$	x0 极大值点

判断极值的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导，且 $f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0$

$f''(x_{0})<0$	x0 极大值点
$f''(x_{0})>0$	x0 极小值点

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

$\\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)$

当 n 为偶数时

$f^{(n)}(x_{0})<0$	x0 极大值点
$f^{(n)}(x_{0})>0$	x0 极小值点

证明：

由于n为偶数，令 n=2k，构造极限

$\\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0$