AcWing 345. 牛站（Floyd变形+快速幂矩阵乘法）

345. 牛站 - AcWing题库

大致题意：从起点到终点，恰好经过N条边的路径数量

定义 g[i][j] 为从i点到j点经过a+b条边的路径数量

假定b[][]为经过a条边的路径数组，c[][]为经过b条边的路径数组

有

经过计算后得到的a[][]即为经过a+b条边的路径数组

void floyd(int a[][N],int b[][N],int c[][N])
{static int temp[N][N];//temp数组作为b数组和c组数相乘的结果memset(temp,0x3f,sizeof temp);for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp[i][j]=min(temp[i][j],b[i][k]+c[k][j]);memcpy(a,temp,sizeof temp);   //复制得到结果
}

最初状态的g[][]即为经过一条边的路径数组

借用快速幂的思想，如果我们想要得到恰好经过K条边的路径数组，如果K为奇数，我们将g[][]与结果数组res[][]计算，如果K为偶数，我们将g[][]与g[][]计算，g[][]的路径长度翻倍，来压缩计算的次数

void qmi()//快速幂套floyd
{memset(res,0x3f,sizeof res);for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=0;while(K){if(K&1) floyd(res,res,g);//更新答案数组,即res=res*gfloyd(g,g,g);//将g数组倍增,即g=g*gK>>=1;}
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>using namespace std;const int N=1010;int K,n,m,S,E;int g[N][N];//开始为只经过一条边的数组
int res[N][N];//答案数组void floyd(int a[][N],int b[][N],int c[][N])
{static int temp[N][N];//temp数组作为b数组和c组数相乘的结果memset(temp,0x3f,sizeof temp);for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp[i][j]=min(temp[i][j],b[i][k]+c[k][j]);memcpy(a,temp,sizeof temp);   //复制得到结果
}void qmi()//快速幂套floyd
{memset(res,0x3f,sizeof res);for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=0;while(K){if(K&1) floyd(res,res,g);//更新答案数组,即res=res*gfloyd(g,g,g);//将g数组倍增,即g=g*gK>>=1;}
}int main()
{cin>>K>>m>>S>>E;map<int,int> id;memset(g,0x3f,sizeof g);//因为g数组必须走过一条边,所以g[i][i]不初始化为0,除非i->i之间有边id[S]=++n,id[E]=++n;S=id[S],E=id[E];//离散化过程,因为题目中给的编号并不是从1开始而是随机的;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;cin>>c>>a>>b;if(!id.count(a)) id[a]=++n;if(!id.count(b)) id[b]=++n;a=id[a],b=id[b];g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);}qmi();printf("%d",res[S][E]);//输出答案return 0;
}