【数值分析】LU分解解Ax=b，matlab自己编程实现

本文主要是介绍【数值分析】LU分解解Ax=b，matlab自己编程实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

LU分解（直接三角分解，Doolittle分解）

$\,\,,\,\, A=LU$
$\begin{cases} Ly=b \\ Ux=y \end{cases}$
矩阵 ${L}$ 的对角元素为 ${1}$ ，矩阵 ${U}$ 的第一行和 ${A}$ 相同。
步骤：
$\begin{align*} 1.& 矩阵 L 的对角元素为 1 ，矩阵U 的第一行和A相同。 \\ \\ 2. & 迭代 \,\,,\,\, j=1,2, \cdots n-1 \\ \\ &算L的第j列 \,\,,\,\, L_{i,j}= \frac{A_{i,j}- \sum_{r=1}^{j-1}L_{i,r}U_{r,j}}{U_{j,j}},i=j+1,j+2,\cdots ,n \\ \\ &算U的第j+1行 \,\,,\,\, U_{j+1,k}= \frac{A_{j+1,k}- \sum_{r=1}^{ j}L_{j+1,r}U_{r,k}}{L_{j+1,j+1}} ,k=j+1,j+2,\cdots ,n \\ \\ 3.& 回代 \,\,,\,\, \\ \\ & y_i= b_i- \sum_{j=1}^{ i-1}L_{i,j}y_j,i=1,2,\cdots ,n \\ \\ &x_i= \frac{y_i- \sum_{j=i+1}^{ n}x_j \cdot U_{i,j}}{U_{i,i}} \,\,,\,\, i=n,n-1, \cdots ,1 \end{align*}$
matlab实现

%% Ax=b例子
A = [16 -12 2 4;12 -8 6 10;3 -13 9 23;-6 14 1 -28];
b = [17 36 -49 -54]';
[x,L,U] = LUsolve(A,b)%% LU分解解Ax=b
% 输入方阵A,向量b
% 输出解x,L、U矩阵
function [x,L,U] = LUsolve(A,b)n = size(A);L = eye(n);U(1,[1:n]) = A(1,[1:end]);for j = 1:n-1 % 对U是行号，对L是列号for i = j+1:n % 算L第i行j列L(i,j) = A(i,j);for r = 1:j-1L(i,j) = L(i,j)- L(i,r)*U(r,j);endL(i,j) = L(i,j)/U(j,j);endfor k = j+1:n % 算U第j+1行k列U(j+1,k) = A(j+1,k);for r = 1:jU(j+1,k) = U(j+1,k)-L(j+1,r)*U(r,k);endU(j+1,k) = U(j+1,k)/L(j+1,j+1);endend% 回代for i = 1:ny(i) = b(i);for j = 1:i-1y(i) = y(i)-L(i,j)*y(j);endendfor i=n:-1:1 x(i) = y(i);for j=n:-1:i+1x(i) = x(i)-U(i,j)*x(j);endx(i) = x(i)/U(i,i);endx = x';
end