快乐地打牢基础（3）—

本文主要是介绍快乐地打牢基础（3）——RMQ问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

RMQ问题是Range Maximum（Minimum） Query的缩写，就是查询某个区间的最大最小值，可以使用线段树，ST表，笛卡尔树上求LCA等多种方法求。ST表由于之前已经写过了博客，所以直接上题。

一本通 OJ：http://ybt.ssoier.cn:8088/
【例题1】 1541 数列区间最大值
题意：
输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数
思路
定义题，可以直接写。

#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;const int Max = 1e6 + 10;
int f[Max][20],log_[Max],a[Max];
int n,m,l,r,k;
void init(){log_[0] = -1; for(int i = 1; i <= n; i++){f[i][0] = a[i];log_[i] = log_[i>>1]+1;}for(int j = 1; j <= 20; j++){for(int i = 1; i + (1<<j)-1<= n; i++){f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",a+i);init();while(m--){scanf("%d%d",&l,&r);k = log_[r - l + 1]; printf("%d\n",max(f[l][k],f[r - (1<<k) + 1][k]));}return 0;
}

这一题应该是数据加强了，之前我用线段树可以过，现在ST总是卡最后两个点，后来又对着书上的题解代码敲了一遍，最后两个点还是超时,我又把之前过的代码copy了一下，最后两个点还是TLE。。。~~ORZ 我已经放弃了。~~

此问题待解决。

【例题2】 1542：最敏捷的机器人
题意
共 n 个数，找出每连续 k 个数中最大和最小值。
思路
同例1，是一个标准的模板题，只不过多了一个保存最小值的解的数组。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max = 1e5+10;
int n,m,k;
int f[Max][20],z[Max][20],log_[Max],a[Max];
void init() {log_[0] = -1;for(int i = 1; i <= n; i++) {f[i][0] = z[i][0] = a[i];log_[i] = log_[i>>1] + 1;}for(int j = 1; j <= 20; j++) {for(int i = 1; i + (1<<j)-1 <= n; i++) {f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);z[i][j] = min(z[i][j-1],z[i+(1<<j-1)][j-1]);}}
}
int main() {scanf("%d %d",&n,&k);for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d",a+i);}init();for(int i = 1; i + k - 1 <= n; i++){int j = i + k - 1;int k1 = log_[k];printf("%d %d\n",max(f[i][k1],f[j - (1<<k1) + 1][k1]),min(z[i][k1],z[j - (1<<k1) + 1][k1]));}return 0;
}

【例3】 1543：与众不同
题意
完美序列定义：一段连续的序列满足序列中的数互不相同。
给出一段序列，找出区间 [L,R] 之间最长的完美序列长度。
思路
既然完美序列要求，一段连续序列满足序列中的数互不相同，那就不能出现两个相同的数。我们用st[i]表示以第i个数为结尾的最长完美子序列的起始位置 ，last[v]表示值为v最近一次出现的位置。可以得出以下的一个转移方程st[i] = max(st[i-1],last[a[i]] +1)(a[i]表示第i个月的盈利值)。

这个转移方程的意义是这样：

如果从st[i-1]到当前位置 i 之间没有重复的元素，那么第i个元素和第i-1的起始位置应该是一样的。
如果从st[i-1]到当前位置 i 之间有重复的元素，那么以第i个数为结尾的最长完美子序列的起始位置就应该是last[i]的后一个位置。

拿①2 ②5 ③4 ④1 ⑤2 ⑥3 举个例子：
1位置上2，前面没有重复的所以st[1] = 1。
2位置上5，前面没有重复的所以st[2] = 1。和前面1位置的起始位置相同。
3位置上4，前面没有重复的所以st[3] = 1。和前面2位置的起始位置相同。
4位置上1，前面没有重复的所以st[4] = 1。和前面3位置的起始位置相同。
5位置上2，前面最近的值为2的位置是1，所以起始位置应该变成1后边一位，把前面重复的2从序列中去掉，保证每个数都不同。
6位置上3，前面没有重复的所以st[6] = 2。和前面5位置的起始位置相同。

上面处理好了之后，用一个数组f[i]表示*以第i个数为结尾的最长完美子序列的长度。
可以得到f[i] = i - st[i] + 1;

同时，有st的递推式可以回到，st的值是一个非递减的序列，那么对于一个询问区间[l,r],该区间内的st值可能会出现：左边一部分的st值小于l，右边一部分的值大于l，由于st值具有单调性，所以这个分界点可以通过二分得到，假设该位置求出来的为m，即st[l…m-1]<l，而st[m…r] >= l。

那么整个区间[l,r]的最长完美序列的长度，分两部分来求，其中左边的最大值很显然是m-1，而右边由于st值都大于等于l，所以就是求[m,r]内f的最大值，使用ST算法可以直接求出。
整个问题的时间复杂度是O（（M+N）* logN）。主要是ST算法和二分的时间。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int Max  = 1e6+5;
int st[Max],last[2*Max+10],f[Max],log_[20],ans[Max][20];
int n,m,l,r,x;
int Erfen(int l,int r){if(st[l] == l) return l;//当m == l的时候，左边部分的最大值为0，不用考虑 if(st[r] < l) return r+1;//m < l时，不存在左边部分，同样不用考虑int ll = l,rr = r;while(ll <= rr){//开始二分 int mi = (ll + rr)>>1;if(st[mi] < l) ll = mi + 1;else rr = mi - 1;} return ll;
}
int query(int l,int r){int k = log_[r - l + 1];return max(ans[l][k],ans[r - (1<<k)+1][k]); 
} 
void init(){log_[0] = -1;for(int i = 1; i <= n; i++)ans[i][0] = f[i],log_[i] = log_[i>>1]+1;for(int j = 1; j <= 20; j++){for(int i = 1; i + (1 << j) -1 <= n; ++i){ans[i][j] = max(ans[i][j-1],ans[i+(1<<j-1)][j-1]);}} 
}
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d",&x);st[i] = max(st[i-1],last[x+Max]+1);//x可能为负数组不支持负下标，所以将x统一加上Maxf[i] = i - st[i] + 1; last[x+Max] =i;}init();while(m--){scanf("%d %d",&l,&r);++l;++r; //题目编号从0~n-1，改成1~n int mi = Erfen(l,r),res = 0,tmp;if(mi > l) res = mi-l;//如果m > l, if(mi <= r){tmp = query(mi,r);res = max(res,tmp);}printf("%d\n",res);}return 0;
}