Quadratic Assignment Problem 二次分配问题

本文主要是介绍Quadratic Assignment Problem 二次分配问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 问题定义

二次分配问题（Quadratic Assignment Problem，QAP）是一种组合优化问题，涉及确定将设施分配到位置的最优方案。它的目标是找到最佳分配，以最小化设施对之间的总成本或距离，考虑到它们之间的相互作用以及对应位置之间的距离。

定义：
- 设施集合：设施集合表示为F = {f1, f2, ..., fn}，其中每个设施fi代表一个具体的设施。
- 位置集合：位置集合表示为L = {l1, l2, ..., ln}，其中每个位置lj代表一个具体的位置。
- 设施之间的流量：表示为Flow矩阵F，其中F(i, j)表示将设施fi分配到位置lj时，流量的大小。
- 位置之间的距离：表示为Distance矩阵D，其中D(i, j)表示将设施fi分配到位置lj时，位置之间的距离。
目标函数：
- 目标是将设施分配到位置，以最小化总成本或距离。通常采用以下形式的目标函数：
  min ΣΣ F(i, k) * D(j, l) * X(i, j) * X(k, l)
  其中，X(i, j)是二进制变量，表示设施fi是否分配到位置lj。
约束条件：
- 设施分配约束：每个设施只能分配到一个位置。
  Σ X(i, j) = 1，对于所有的i∈F
- 位置分配约束：每个位置只能分配一个设施。
  Σ X(i, j) = 1，对于所有的j∈L

2 读取文件

#ifndef INPUT_H
#define INPUT_H#include <string>
#include <vector>class Input
{
public:Input(const std::string& filename);/// <summary>/// 读取文件内容/// </summary>void read();/// <summary>/// 返回文件名/// </summary>/// <returns></returns>std::string getFilename() const;/// <summary>/// 数据的大小/// </summary>/// <returns></returns>int getDimension() const;/// <summary>/// 返回距离矩阵/// </summary>/// <returns></returns>std::vector< std::vector<int> > getDistances() const;/// <summary>/// 返回位置矩阵/// </summary>/// <returns></returns>std::vector< std::vector<int> > getFlow() const;private://文件名std::string filename_;//维度int dimension_;//距离矩阵std::vector< std::vector<int> > distances_;//位置矩阵std::vector< std::vector<int> > flow_;
};#endif

3 解决方案的父类设计

#ifndef QAP_SOLVER_H
#define QAP_SOLVER_H#include <vector>
#include <algorithm>class QAPSolver {
public:QAPSolver(const std::vector<std::vector<int>>& flowMatrix_, const std::vector<std::vector<int>>& distanceMatrix_);virtual ~QAPSolver() {}// 解决QAP的纯虚函数virtual void execut() = 0;// 获取解决后的最优排列virtual std::vector<int> getBestSolution() const;// 获取解决后的目标函数值virtual int getCost() const;// 计算成本int claculCost(std::vector<int>& solution);protected://解决方案std::vector<int> bestSolution;//成本int cost;// 大小int size;//距离矩阵std::vector< std::vector<int> > distanceMatrix;//位置矩阵std::vector< std::vector<int> > flowMatrix;};#endif // !QAP_SOLVER_H

3 贪心算法

贪心算法的思想是基于局部最优选择来构建整体最优解。具体来说，在解决QAP的贪心算法中，我们按照一定的规则选择变量的排列顺序，以使得每次选择都是当前局部最优的。贪心算法的每一步都基于当前最佳选择，而不考虑整体的最优解。

在解决QAP的贪心算法中，我们首先生成一个初始的排列，然后根据特定的规则，逐个选择未安排的变量并插入到已安排的变量中，以便最小化目标函数的值。在每次选择时，我们计算当前变量与已安排变量之间的成本，并选择使成本最低的变量进行插入。

#ifndef GREEDY_H
#define GREEDY_H#include "QAPSolver.h"class greedy : public QAPSolver
{
public:greedy(const std::vector<std::vector<int>>& flowMatrix_, const std::vector<std::vector<int>>& distanceMatrix_) : QAPSolver(flowMatrix_, distanceMatrix_) {};void execut() override;};#endif // !GREEDY_H#include "greedy.h"void greedy::execut()
{//初始化排列std::vector<int> permutation(size);for (int i = 0; i < size; ++i) {permutation[i] = i;}std::sort(permutation.begin(), permutation.end(), [&](int a, int b) {int aSum = 0, bSum = 0;for (int j = 0; j < size; ++j) {aSum += flowMatrix[a][j] * distanceMatrix[permutation[j]][permutation[a]];bSum += flowMatrix[b][j] * distanceMatrix[permutation[j]][permutation[b]];}return aSum < bSum;});bestSolution = permutation;}

4 运行结果

#include <iostream>
#include <memory>#include "Input.h"
#include "greedy.h"using namespace std;int main(int argc, char* argv[])
{string filename = "";Input input(filename);unique_ptr<QAPSolver> pGreedy = make_unique<greedy>(input.getDistances(),input.getDistances());pGreedy->execut();cout << "Greedy Search: " << endl;cout << "\tCost: " << pGreedy->getCost() << endl;cout << "\tSolution: ";vector<int> solution = pGreedy->getBestSolution();for (int i = 0; i < solution.size(); ++i){cout << solution[i] << " ";} cout << endl;cout << endl;
}

运行结果