MIT18.06线性代数课程笔记8：求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆

本文主要是介绍MIT18.06线性代数课程笔记8：求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

1. 求解Ax=b

这里涉及两个问题：1. 是否有解 2. 如何求解

1.1. 是否有解

有两种方法：1. $b\in C(A)\Leftrightarrow \exists x\in R^n, Ax=b$, where $A_{m\times n}$ 2. 对增广矩阵消元，$b$所在列不是pivot column。

对于第一种方法，如MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space所述，$Ax$是$A$的列向量的线性组合，所以$Ax\in C(A)$，而且$\forall v\in C(A), \exists x, Ax=c$。由此可证明第一个方法。但是这只是理论上的结论，实际应用中不如消元法方便。

如MIT18.06线性代数课程笔记7：使用消元法求解Null space中所述，对矩阵$A$消元，$A=LU$，可以得到pivot column和free column，且有任意free column都可以表示为所有pivot column的线性组合（更严格的结论是任意free column都可以表示为之前列的线性组合）。证明也很容易，因为if $c=Ax\Leftrightarrow Ec=EAx$，since $E$ is invertible。所以对增广矩阵$[A|b]$做消元，即$E[A|b]=[U|b']$，若$u'_i=0$，即$U$的第$i$行为0，$b'_i\neq 0$，则$Ax=b$无解，因为$b'$是$[U|b']$的pivot column。所以$b'\notin C(U)$。

1.2. 如何求解

如果有解的情况下如何求解的问题在MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space有所阐述。具体地，就是先求解一个特解$x_p$，$x_p$的获取比较随意，常用方法是对增广矩阵做消元之后令free column取0，这样就可以得到唯一解。然后因为$\forall x\in R^n, Ax=b\Rightarrow A(x-x_p)=0\Rightarrow x-x_p\in N(A)$，固所有解集为$\{x:x=x_p+x_n,\forall x_n\in N(A)\}$。至于$N(A)$的求解方法详见MIT18.06线性代数课程笔记7：使用消元法求解Null space，简单的说就是令free column取值为$n-r$个线性无关的基向量，然后求解$Ax=0$，得到$n-r$个$N(A)$的基向量。

2. 矩阵的秩

矩阵的秩现在的定义是消元后主元的个数，也是pivot column的个数，使用$r$表示。

设$A_{m\times n}$，容易证明$r\le m$,$r\le n$。

并且通过$r$与$n,m$的关系，可以判断矩阵是否有解，以及解集的维数。

2.1. $r==m\Rightarrow$必定有解

笔者想到两种证明方法，一是$U$中不存在零行，所以任意$b'$都可以；二是有$m$个pivot column，即有$m$个线性无关基向量，其线性组合遍布整个$R^m$。

2.2. $r==n\Rightarrow$有解必然唯一解

行满秩的情况下，没有free column，所以$N(A)=\{\vec 0\}$，解集为$\{x_p\}$。

但是不一定有解，因为$n$个$m$维向量构成的子空间维度为$n$，不遍布$R^m$。对于大多数的$b$都无解。

2.3. $r==m==n\Rightarrow$有解且唯一解

行列均满秩的情况下，由上诉两个结论可知有解且唯一解。

2.4. 秩与可逆的关系

目前只讨论左逆元，即$A^{-1}A=I$，则有只有$r==n$时有逆元。即列满秩是$A$存在左逆元的充要条件。

1. 列满秩$\Rightarrow$$A$有左逆元

   如上所述，因为列满秩，所以$\exists E,EA=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$。即$\exists E_1,E_2, \begin{bmatrix}E_1\\E_2\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\exists E_1,E_1A=I$。$E_1$即为$A^{-1}$，所以$A$存在左逆元。

2. $A$有左逆元$\Rightarrow$列满秩

   因为$r(A^{-1}A)=n\le r(A)\le n\Rightarrow r(A)=n$。

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