HDU 1166 敌兵布阵 树状数组解释+模板

永不言弃，就是我的忍道

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Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output
Case 1:
6
33
59

这是我第一次接触树状数组（Binary Index Tree，BIT），树状数组的思想是这样的，既然所有整数都能表示成2的不同次幂的和，那么一串序列也能表示成一段子序列的和，如图就是一个21个元素的树状数组

C[1]=C[1]=A[1]
C[2]=C[10]=A[1]+A[2]
C[3]=C[11]=A[3]
C[4]=C[100]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
C[5]=C[101]=A[5]
C[6]=C[110]=A[5]+A[6]
C[7]=C[111]=A[7]
C[8]=C[1000]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]
……
直观地来看规律就是，把一个数表示成二进制，它从右往左数第一个1代表的数就是数组个数，如3的二进制最后一位是1代表1，它就包含3这一个数；8的二进制倒数第4位是1代表8，它就包含1-8这8个数。
看图可以知道，当有2的整数次幂个数的时候，树状数组是树；当不是2的整数次幂，树状数组就是森林。
本质上来说，用树状数组来表示前n个数，就是把n二进制分解，如21=10101，可以被二进制分解为2^4+2 ^2+2 ^0,于是它可以被分成3个小区间：
[1,2 ^4],[2 ^4+1,2 ^4+2 ^2],[2 ^4+2 ^2+1,2 ^4+2 ^2 +2 ^0],如上图。
那么已经知道规律了，怎么用程序实现求这些区间的长度呢？代码非常的简短：

int lowbit(int x){return x-(x&(x-1));
}

x是奇数时，如x=111，x-1=110,111&110=110,即末位变0，其他位不变，这样相减后得1，即奇数的区间长度都是1。
x是偶数时，如x=1010，x-1=1001，1010&1001=1000，就会得到1010-1000=10,

还有一个更短的

int lowbit(int x){return x&(-x);
}

如101100，第一个1在第3位上，取反以后是010011，取反+1是010100，即原数的补码，可以看出这两个数除了第一个1的位置，其它位置相与都是0。最后得到100。
然后我们可以在O(logn)的复杂度下实现以下操作：
求i的前缀和操作

int sum(int i){ int ans=0;while(i>0){ans+=c[i];i-=lowbit(i);//总长度减去刚刚已经求完的区间长度}return ans;
}

求区间（x,y)的和即sum(y)-sum(x-1)
区间修改操作

void update(int i,int val){while(i<=n){c[i]+=val;i+=lowbit(i);//修改一个点后，现有长度加上区间长度，向上修改}
}

对c[i]的初始化也可以通过update来实现。
然后就可以做这个题了，就是一个树状数组的模板。

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<string>
using namespace std;
int a[50050],c[50050];
int n;
int lowbit(int x){//求数组长度return (x&(-x));
}
int sum(int i){//求前缀和int ans=0;while(i>0){ans+=c[i];i-=lowbit(i);}return ans;
}
int query(int i,int j){//查询区间和int ans=sum(j)-sum(i-1);return ans;
}
void update(int i,int val){//更新区间while(i<=n){c[i]+=val;i+=lowbit(i);}
}
int main(){int t,cnt=1;scanf("%d",&t);//注意要用scanf输入，cin会超时。。。。while(t--){memset(c,0,sizeof(c));//注意c数组一定要清一下memset(a,0,sizeof(a));printf("Case %d:\n",cnt);int i;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);update(i,a[i]);}char opr[10];int c,d;while (scanf("%s", opr), opr[0] != 'E')//判断这个地方不要嫌麻烦一定要写严谨点，不然都不知道哪错的{if(opr[0]=='Q') {scanf("%d%d",&c,&d);printf("%d\n",query(c,d));}else if(opr[0]=='A'){scanf("%d%d",&c,&d);update(c,d);}else if(opr[0]=='S'){scanf("%d%d",&c,&d);update(c,-d);}}cnt++;}return 0;
}

写题十分钟，改题两小时。。。
本文借鉴了杭电刘春英老师的讲课视频以及《信息学奥赛一本通·提高篇》的树状数组部分。