小话数据结构-图 (聚焦于案例实现的理解)

数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙。

​ ——爱因斯坦

前言

本文代码基于C++实现，阅读本文，需要有以下知识

1. 教熟练使用C++ STL库中的vector，map，pair等；
2. 对于递归和简单搜索算法（dfs，bfs）有粗浅的理解；
3. 稍微的离散数学或者是线性代数知识（可能是我瞎掰的，没有也罢 😂 ）

本文针对算法或数据结构初学者~~（比如我）~~写下，本人不才，如有错误请轻喷 :happy: 。

瓶颈

在学习**“数据结构”这门课之前，“图论”这个略显高级的词汇看起来还与我那么的遥远，在经过了“离散数学”的学习之后，我慢慢认识到其实数据结构就是离散数学模型的代码实现**，并且在不断的学习中，我开始能以我自己的思维去理解图论的知识。

数据结构的教科书上，每个知识点都会系统的从**“定义——术语——存储结构——相关操作”**娓娓道来，然而，各种各样的障碍阻碍着我们认知的过程。对于离散数学不熟悉的，一时间无法抽象出模型，教材上冗长的代码实现，给读者一种晦涩难懂的感觉。这时候我们就要思考离散数学的本质——将具体问题抽象为一般问题，在由算法解决。因此，我们在一开始不必过于在意方法，而是应该聚焦与实现，像大学物理做实验一样，多操作几遍，自然就熟能生巧，甚至开发出新的理解。

你得从用户的体验出发，推倒用什么技术。
——乔布斯在1997年回归苹果发布会上回答提问

案例-引入

什么是图？简单说就是点与点之间的网状关系。

比如以下有6个城市之间的铁路线。

地图就是一个很经典的图

那么，我们是如何表达他们的关系的呢

我们使用邻接表or邻接矩阵

为什么是邻接表/矩阵

邻接表和邻接矩阵是图的两种常用存储表示方式，用于记录图中任意两个顶点之间的连通关系，包括权值。

（在图论相关的案例中，我们会特别频繁的用到这两种表示方式）

我们不谈什么二元组三元组的，想想啊，图重要的顶多就仨玩意：节点，边，权值，而使用邻接表和邻接矩阵已经可以清晰简洁的表达这些关系了。

我们先看看邻接表和邻接矩阵怎么建；

邻接表

emm，用图表示就是上面那张图啊，代码实现的话，我们用stl的vector更方便一点

#include <iostream>
#include <vector>struct edge{//边信息，边有啥属性往里丢就行int to;//该边可以去往的下一个节点编号，有明确指向，是单向边。int value;//存边的权值，如果没有可以直接忽略edge(int t,int v) :to(t), value(v){};//构造函数
};vector<edge> node[n];//用vector实现邻接表的存储
//ps：边信息只有一个可以直接存int，两个可以用stl的pair，三个及以上就肯定要用struct了
//vector<int> node[n],vector<pair<int, int> >都是可行的，自己清楚意思就行

这里是什么意思呢，就是我有n个vector数组，每一个数组表示一个点的信息，vector里存的是边（edge），每一个点到点的通路意味着有一个对应的edge信息。

那么，如何把信息存入邻接表呢，我们假设用一下流程输入（大概就是平时做题的时候题目要求的输出啦）

先假设每条边的权值都是一样的，就设为“1”吧

//第一行为两个整数n，e，分别表示节点数，边数，随后n行，输入节点信息，在随后e行，接受边信息

6 8

武汉 岳阳 南昌 长沙 株洲 湘潭

武汉 岳阳

岳阳 南昌

武汉 长沙

南昌 长沙

岳阳 长沙

长沙 株洲

长沙 湘潭

湘潭 株洲

#EOF

那么，在C语言里面我们这么处理输入

map<string,int> tab;
map<int,string> tab0;
//建立散列表（哈希表），使每个城市的编号和名字可以相互连接
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++){string name;cin>>name;tab0.insert({i,name});tab.insert({name,i});//给每一个城市编号
}
while(m--){edge tmp;string a,b;node[map[a]].push_back(edge(map[b],1));//构造函数中map[a]表示名为a的城市对应的编号，1表示权值，存入vector数组g中node[map[b]].push_back(edge(map[a],1));//因为是双向边所以正向反向都存一遍
}

这样的话，我们的邻接表就完全存储好了

对于任意一个点，我们要遍历其相邻点，只需要用一下代码

//输入城市名字 输出其相邻所有城市的名字string name;
cin>>name;
for(auto it=node[tab[name]].begin();it!=g[tab[name]].begin();it++){//遍历name节点的所有边cout<<tab0[it->to]<<endl;
}

假如我们输入

岳阳

那么就会返回

武汉

南昌

长沙

整个邻接表的存储和访问过程就是以上的样子了

邻接矩阵

这个就很好理解了，就是一个n*n的二维数组模拟矩阵，表达的是点与点之间的关系，我们沿用上一个例子里的输入，我们建立出来的矩阵大概是这样

这个邻接矩阵只是判定有无直接相连的，我们用一个6*6的二维数组可以很轻松的建出来，没有自旋，未联通和自我比较设置为0（false），已联通即设置为1（true）。

案例-常见问题

（PS：本人才疏学浅，只介绍部分案例的大致思维路线，细节欢迎各位深入思考）

我们接着上一个案例看，对于很多情况，邻接矩阵像上面这样，就算建出来了，但是我们现在用的，是一个实实在在的生活中的例子，谁都直到武汉和南昌之间必定可以通过铁路线到达，只是会经过别的站台。

这个时候就引出了一个问题，按照邻接表来看，武汉和南昌实际上是通过其他的节点连接起来了的，只是没有直接连接。

然而此时，从“武汉“到”南昌”实际上有多条线路

武汉->岳阳->南昌

武汉->长沙->南昌

武汉->长沙->岳阳->南昌

武汉->岳阳->长沙->南昌

武汉->长沙->湘潭->株洲->南昌

………………

那我们给其付的权值到底是2，3，4还是多少呢？

这就可以引入到一个**常见的图论问题——“最短路”**了

最短路

（PS：最短路问题在算法竞赛和数学建模竞赛中都是非常常见的）

故名思意，当我们想要直接去往某个目的地时，一定是讲究时间效率的，我们不愿意走太长，更不愿意绕圈子，用规范的话说就是：“找最短路，并且避免系统资源浪费”，那我们就要先走一遍所有路径，看看哪个路径可行（好比每天高铁第一班车是“探路车”）。

假设我们要从武汉出发，去南昌：

我们从武汉开始遍历武汉接下来可以到达每一个城市

如此以来，逐个分析每个为直接相连的点，我们可以得到整个图的带权值的的邻接矩阵表示，其中有一个要点，即点不能重复访问，而BFS按照层次遍历邻接表的模式非常契合这个目的。我们沿用上方的输入和邻接表的存储形式，以下给出大致的伪代码：

#include<queue>//stl的queue容器void bfs(int st){queue<edge> qu;//创建队列qu.push(起始状态入队)；while(!qu.empty()){//当队列非空if(当前状态x方向可走)qu.push(当前状态->x);//该状态入队if(当前状态向y方向可走)qu.push(当前状态->y);//该状态入队…………………处理(队顶)qu.top();相应操作；qu.pop();//队首弹出队}//一次循环结束，执行下一次循环
}

如此以来，我们就得到了整个图，每个节点的详细信息，可以根据需求进行更细节的操作。

这便是最短路的基本思想，当然，实际情况会更加复杂，比如边的权值各有不同，是有向边，出现负权值等情况，也会有相应的算法（迪特斯科拉，贝尔曼-福德，弗洛伊德，SPFA，A_Star等算法），同时，在图的遍历时,通过邻接矩阵我们也可以瞥见连通图的很多性质，优美的现象能吸引人的思考，数学之美就在于这些奇妙之处。

欧拉路

我们有目的性出行，肯定也有旅游出行，肯定有人喜欢欣赏沿途的风景，我举个例子，加入有一个岳阳人，他很喜欢看火车沿路的风景，他把以上6个城市作为了自己旅行可规划的目的地，他想在各个路线中穿梭，路线越长越好，但是他不喜欢看重复的风景，他想规划一个走过的路不重复，而且最长的路线。走过的路不重复，就是所谓的欧拉路。

因为我们着重考虑路径，所以使用之前判定有无直接连接的邻接矩阵就可以了，我们使用DFS来遍历所有边并找出最长的一条。

int g[N][N];//邻接矩阵2维数组
//默认邻接矩阵信息已经存入了该二维数组中
bool st[N][N];//标记某一条边是否被访问过
int ans;//存储答案void dfs(int start, int res) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[start][i] == 1 || st[start][i] || st[i][start]) //该边可以通过并且是第一次通过continue;st[u][i] = st[i][u] = true;//标记dfs(i, res + 1);//下一步st[u][i] = st[i][u] = false;//回溯}ans = max(ans, res);//保证得到最大的结果
}

欧拉（回）路问题其实就是经典的“一笔画问题”，应为我们每一步的判定和操作都是固定的，通过dfs的**“自相性”**我们往往能简洁而优美的解决这一系列问题。

为了继续思考图论的模型，我们接下来不使用代码讨论另外两种模型，这两种模型的代码模板很方便理解，了解了基本思路和模型，就很方便应用了。

并查集

我们都知道每个省有很多地放，现在随意给你两个市区的名称，想要你判断以下他们是否属于同一个省份。

我们将每个城市存入其数据结构，可以得出以下的情况

并查集的关键在于处理父子节点的关系，这样的数据架构可以处理大量的**“集合合并”**操作

最小生成树

再来一个例子，假设我们要再部分城市之间架设最新最快的交通轨道，为了使成本最低，现在要你选出一个方案，使架设的轨道线路最低：（现在我们给边附上权值）

这样便是一个基础的无向图最小生成树问题，我们根据我们已经建立的关系，采用并查集的数据结构，采用Kruskal或者Prim算法的模板可以求出以下结果

更多……

图论的问题和每一个节点的信息息息相关，而如何使用图论模型，关键在于如何定义**“节点”**。

关于这个问题，我很喜欢**《算法图解》**里的讲解方式——将“状态”转化为“信息”储存到“节点”里，每个状态是一个“节点”，状态变化的过程就是“边”。这便是连接实际问题和图论算法的桥梁，理解了这个思想，很多模型建立的困惑就能迎刃而解了，图论的其他问题基本都能通过这个思想来建模。

希望我的抛砖引玉能引起更多的思考！ :happy: （蒟蒻鞠躬）。