弗洛伊德算法三重循环的最通俗理解

我是标题党

• 首先本解释仅限无向图无负边权…直奔主题，我先上一段代码

//i是起点,j是终点,k是中转点
for(int k = 1; k <= n; k++){for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){if(d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]){d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];}}}
}

• 我大一刚接触这玩意，压根不懂，直到大四考研重新接触，理解一小会就明白了。接下来我就给大伙们理一理我的思维。

i和j的关系

• i是起点，j是终点，大家都懂。然后我给大家一个重要的式子，d[i][j]==d[j][i]，在无向图中，明显这是成立的。这不是废话吗？ 但是理解的数学（物理）意义大家真正理解了吗？
• d[i][j]==d[j][i]表示从i点出发到j点的最短距离等于从j点出发到i点的最短距离。这不是废话吗？ 这里我引出一个理解i和j关系最重要的数学概念 对称性。因此这条式子代表了i和j具有对称性，在线性代数上表示，$d_{n\times n}$是对称矩阵。因此可以理解为，i和j可以互相替换。 放到程序里，原程序👇

for(int k = 1; k <= n; k++){for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){if(d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]){d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];}}}
}

完全等价于👇

for(int k = 1; k <= n; k++){for(int j = 1; j <= n; j++){for(int i = 1; i <= n; i++){if(d[j][i] > d[j][k] + d[k][i]){d[j][i] = d[j][k] + d[k][i];}}}
}

• 重点来了这个👇代表什么数学（物理）含义？

for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){//......}
}

• 说人话就是遍历整个$d_{n\times n}$矩阵，并且要更新它，在程序里面就是，遍历所有以i起点到以j为终点的最短距离。实际上我刚刚也说明，i和j可以互换。所以上面的程序，这关于i和j循环一定要放在一起。（当然不放一起也可以，也有它自己的数学含义，但是这绝对不是弗洛伊德算法）

关于k为什么要放在最前面

• 我相信这个问题有很多人无法理解。上面我们已经清楚i和j的关系，下面我就当作大家都明白了，不明白的话再看几遍。
• 我们可以想一想，k在第一层循环，第二、三层循环是在遍历矩阵，所以这个程序的思路是首先固定k点，遍历更新$d_{n\times n}$矩阵，没毛病吧。这里我先举个栗子，看图
  
• k是啥？k是i到j上的中继点
• 假设这里k为0，更新的路径为1-0-2，1-0-3，1-0-4，2-0-3，2-0-4，3-0-4
• 假设接下来更新的k为1，通过k=0已经更新的路径，实际上此时更新路径为2-0-1-3，2-0-1-4，3-0-1-4，2-1-3…看到这里你发现d[2][3]更新了3次，推下去整个k遍历完你发现可以更新所有2->3的路径
• 大家懂了吧