用动态规划算法解Travelling Salesman Problem（TSP）问题

基础知识

  Travelling Salesman Problem (TSP) 是最基本的路线问题。它寻求的是旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点后，再次返回起点所花费的最小路径成本，也叫旅行商问题、旅行推销员问题、担货郎问题等。
  动态规划算法（Dynamic Programming，简称DP）通常用于求解具有某种最优性质的问题，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后由这些子问题的解再得到原问题的解。

动态规划的求解过程

  下面来验证一下此方法求解的可行性。
  设 s，s1，s2…s为满足题意的最短回路。假设从s到s1的路径已经确定，则问题转化为从s1到s的最短路径问题。而很显然，s1，s2…s一定可以构成一条最短路径，所以构成最优子结构性质，可以用动态规划求解。

动态规划方程的推导

  用 V’ 表示一个点的集合，假设从顶点 s 出发， d ( i , V’ ) 表示当前到达顶点 i，经过 V’ 集合中所有顶点一次的最小花费。

1. .当 V’ 为仅包含起点的集合，也就是
   d ( s , { s } ) = 0 d(s,\{ s\} ) = 0 d(s,{s})=0
2. 其他情况，则对子问题求最优解。需在 V’ 这个城市集合中，尝试每一个城市结点，并求出最优解。
   
3. 最后的求解方式为:
   

其中 S 为包含所有点的集合。把公式一套，题就解了。

状态压缩

  推到动态规划方程时，我们注意到 V’ 是一个数的集合，而且解决的问题规模比较小，于是可以用一个二进制数来存储这个集合。简单来说就是——如果城市 k 在集合 V’ 中，那么存储集合的变量 i 的第 k 位就为 1，否则为 0。由于有 n 个城市，所有的状态总数我们用 M 来表示，那么很明显：M = 2^n，而 0 到 2^n -1 的所有整数则构成了 V’ 的所有状态。这样，结合位运算，动归方程的状态表示就很容易了。

源码：

#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
// 定义常量
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define sqr(x) ((x)*(x))
// 定义变量
string file_name;
int type; // type == 1 满秩矩阵格式, type == 2 二维坐标式
int s;
int N;// 城市结点数量
int init_point;
double **dp; // 动态规划状态数组dp[i][j]，i表示集合V’，j表示当前到达的城市结点
double **dis; // 两个城市结点之间的距离
double ans;
// 定义结构体
struct vertex {double x, y; // 城市结点的坐标int id; // 城市结点的idint input(FILE *fp) {return fscanf(fp, "%d %lf %lf", &id, &x, &y);}
}*node;double EUC_2D(const vertex &a, const vertex &b) {return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}void io() { // 数据读入printf("input file_name and data type\n");cin >> file_name >> type;FILE *fp = fopen(file_name.c_str(), "r");fscanf(fp, "%d", &N);node = new vertex[N + 5];dis = new double*[N + 5];if (type == 1) {for (int i = 0; i < N; i++) {dis[i] = new double[N];for (int j = 0; j < N; j++)fscanf(fp, "%lf", &dis[i][j]);}}else {for (int i = 0; i < N; i++)node[i].input(fp);for (int i = 0; i < N; i++) {dis[i] = new double[N];for (int j = 0; j < N; j++)dis[i][j] = EUC_2D(node[i], node[j]);// 计算城市之间的距离}}fclose(fp);return;
}void init() { // 数据初始化dp = new double*[(1 << N) + 5];for (int i = 0; i < (1 << N); i++) {dp[i] = new double[N + 5];for (int j = 0; j < N; j++)dp[i][j] = INF;} // 初始化，除了dp[1][0]，其余值都为INFans = INF;return;
}double slove() {int M = (1 << N);// M就是第四部分所说的V’状态总数，1<<N表示2^N，总共有2^N种状态dp[1][0] = 0;// 假设固定出发点为0，从0出发回到0的花费为0。TSP只要求是一个环路，所以出发点可以任选for (int i = 1; i < M; i++) {// 枚举V’的所有状态for (int j = 1; j < N; j++) {// 选择下一个加入集合的城市if (i & (1 << j)) continue;// 城市已经存在于V’之中if (!(i & 1)) continue;// 出发城市固定为0号城市for (int k = 0; k < N; k++) {// 在V’这个城市集合中尝试每一个结点，并求出最优解if (i & (1 << k)) {// 确保k已经在集合之中并且是上一步转移过来的结点dp[(1 << j) | i][j] = min(dp[(1 << j) | i][j], dp[i][k] + dis[k][j]); // 转移方程} // 将j点加入到i集合中}}}for (int i = 0; i < N; i++)ans = min(dp[M - 1][i] + dis[i][0], ans);// 因为固定了出发点，所以要加上到城市0的距离。另外要从所有的完成整个环路的集合V’中选择，完成最后的转移return ans;
}int main() {io();init();string tmp = file_name + ".sol";FILE *fp = fopen(tmp.c_str(), "w");fprintf(fp, "%.2lf\n", slove());delete[] dp;delete[] node;delete[] dis;fclose(fp);return 0;
}

输入数据：

若城市数据文件如下所示：

     161   38.24   20.422   39.57   26.153   40.56   25.324   36.26   23.125   33.48   10.546   37.56   12.197   38.42   13.118   37.52   20.449   41.23   9.1010   41.17   13.0511   36.08   -5.2112   38.47   15.1313   38.15   15.3514   37.51   15.1715   35.49   14.3216   39.36   19.56