树状数组模板题：楼兰图腾

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/243/

题目：

在完成了分配任务之后，西部 314 来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。

西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n 个点，经测量发现这 n 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部 314 认为这幅壁画所包含的信息与这 n 个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),…,(n,yn)，其中 y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

西部 314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n 且 yi>yj,yj<yk，则称这三个点构成 V 图腾;

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk)满足 1≤i<j<k≤n 且 yi<yj,yj>yk，则称这三个点构成 ∧ 图腾;

西部 314 想知道，这 n 个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入格式

第一行一个数 n。

第二行是 n个数，分别代表 y1，y2,…,yn。

输出格式

两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。

数据范围

对于所有数据，n≤200000，且输出答案不会超过 int64。
y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

输入样例：

5
1 5 3 2 4

输出样例：

3 4

思路：

暴力的方式：

求 ∧的个数

求i左边比a[i]小的值，以及i右边，比a[i]小的值。 然后乘起来，

同样 i + 1的也是如此， i + 2的也是如此。

然后每个对应i上能够组成的总和加起来就是答案。  

V 的个数也是一样。

暴力求的话，时间复杂度为O（n ^ 2）.

举例来说明树状数组的用途：将原先O（n）求某段区间的和，变为了O(logn)求这个区间的和。但本质没变，都是求a[1] + a[2] + ....+ a[n]的和。

如存入3.则c[3] += 1,c[4] += 1， c[8] += 1.

而当我们求解1~4的和时， 输出的就是c[4]. c[4]的含义就是以4为终点，长度为lowbit(4)也就是4 的和。（即4,3,2,1出现的总次数）。

而当我们求解2~4的和时，就使用c[4] - c[1]即可。所以依然为1， 因为只有3出现了并只出现了1次。

画图举例：

所以求某个i左边区间中比a[i]小的数个数总和，其实就是求左边这个区间在1~a[i] - 1中数值出现的次数和。 所以将a[1~i-1]的值出现的次数存入到树状数组中， 

如i == 3 , a[1] = 5, a[2] = 6, a[3] = 10,

由 a[1] == 5, 所以对应的5出现次数 + 1,从而树状数组改变，c[5] += 1, c[6] += 1,c[8] += 1.

a[2] == 6,所以对应的6出现次数 + 1, 从而树状数组改变， c[6] += 1, c[8] += 1.

到了a[3]的时候，所以求 1~10 - 1这些数值出现的次数。 于是sum(9) - sum(1 - 1)

c[9] + c[8] - c[0] = 2.

所以可以看出实际上还是求1~9出现次数的和，但是从原先的暴力(1出现次数 + 2出现次数+...+9出现的次数)   优化为了 c[9] + c[8] - c[0]. 

这就是树状树组的优化，由原先的O(n)求区间和， 变为了O(logn)求区间和。

而每修改一次 某个a[]出现的次数 就修改一次c[]，主要是因为后面需要通过c[]求区间和，所以修改。

所以是否可以用树状数组对我们每次的暴力求左边区间小于a[i]的次数和进行优化呢？实际上是可以的。

以求 ∧的个数为例，

求i左边的1~i - 1的区间中，小于 a[i]这个值的出现次数和。 

每一次遍历i,都将对应的a[i]值加入到对应树状数组中，也就是a[i]这个值出现次数 + 1,从而使得c[]改变， 当到达了a[i]时，就通过树状数组在O(logn)的时间内求出 1~a[i - 1]出现的总次数。使用sun(a[i - 1]) - sum(1 - 1).

求i左边的1 ~ i - 1的区间中，大于a[i]这个值的出现次数的和。也同上，每次将a[i]的值存入到树状数组中，也就是a[i]值出现次数 + 1, 从而使得c[]改变，当到达a[i]时， 就通过树状数组求

a[i] + 1 ~ n出现的总次数。 sum(n) - sum(a[i] + 1).

从而用树状数组求解所有 i左边 比a[i]小的次数 t1，比a[i]大的次数t2， 右边比a[i]小的次数t3，比a[i]大的次数t4.

每一个i的t1 * t3 的总和。

每一个i的 t2 * t4的总和。

总结：

当求某个区间的总和 并且 需要 单点修改某个点的值时，看是否可以使用树状数组进行优化。

代码实现：

/*
c[i]的含义就是 以i为终点，长度为lowbit(i)的前缀和
*/
# include <iostream>
# include <cstring>
using namespace std;const int N = 200010;int a[N];
int c[N];int lower[N]; //表示左边比第i个位置小的数的个数
int up[N];  //表示左边比第i个位置大的数的个数int n;int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void add(int x, int k)
{for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += k;
}int sum(int x)
{int res = 0;for(int i = x ; i ; i -= lowbit(i)){res += c[i];}return res;
}int main()
{scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n ; i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i = 1; i <= n ; i++){int y = a[i];lower[i] = sum(y - 1);  // 找i的左边， 所有 1 ~ y - 1的总个数up[i] = sum(n) - sum(y);  // 找到i的左边 所有 y + 1 ~ n的总个数add(y,1);}memset(c,0,sizeof c); // 将c清空long long v = 0;long long d = 0;for(int i = n ; i >= 1 ; i--){int y = a[i];d += (long long)sum(y - 1) * lower[i];v += (long long)( sum(n) - sum(y) ) * up[i];add(y,1);}printf("%lld %lld\n",v,d);return 0;
}