详解DFS（深度优先搜索）算法+模板+指数+排列+组合型枚举+带分数四道例题

目录

 前言：

1.背景

2.图解分析 

 3.算法思想

4.dfs四大例题

 4.1.递归实现指数型枚举

 题解：

4.2.递归实现排列型枚举

题解：

字典序:

4.3.递归实现组合型枚举

 题解:

4.4.带分数

题解：

5.最后：

 前言：

        大家好呀，我是山上雪，时隔多日终于回归，归功于小姑娘的打赏激励以及佬们日更一篇的节奏使得我坐不住了!!

激动万分的写下了该篇博客,文有不足，望各位大佬批评指正

                               动力源泉如下！！！！！！！！！

1.背景

深度优先算法（Depth First Search，简称DFS）：本文均采用递归方式，搜索每一条路径，一路走到黑直到不能再走则返回，每个结点仅访问一次。

2.图解分析 

对于这个图   

 我们想到  7这个地方的话怎么走呢？1是起点，有5条可能的路径

 1-2-5

1-2-6

1-3-7（成功）

1-3-8

1-4

可以看出，想要到7则需要遍历所有可能路径，如果加一条件，找到则退出是可以减少计算量的

 3.算法思想

dfs中最重要的算法思想是回溯和剪枝。

        回溯就是当你面对多条路的时候，你优先选择一条路后，当你选择多条路的另一条路的时候你需要回到初始状态，也就是说，这条路走不通你就退回，然后选择下一条路，满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

       剪枝，因为dfs算法用的递归实现，这时候就可能产生了许多不必要的计算过程，而这些计算过程通常很大。所以我们就可以加一个限制条件，使其不用计算直接返回，这种思想就像是剪掉了树的枝条，所以称为“剪枝”。

4.dfs四大例题

 4.1.递归实现指数型枚举

从 1∼n这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数 n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤ n ≤15

输入样例：

3

输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

 题解：

这个题关键是按什么顺序枚举，可以对每个数进行分类  选或者不选以及上一个状态  然后输出所有可能性即可  

这里考虑开一个数组用来记录每个数的状态

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=16;//一半空间开大一点，使其从下标1开始容易判断，避免越界
int sd[N];//这里全区变量的话默认数组值为1   状态数组 0为没选 1为选择 2为不选
int cin=0;
//int arr[][N];可以直接输出数，也可以先存在二维数组里再输出
int n;
void dfs(int u)//这里的u代表正在选择的第几个数
{if(u>n)//u大于n则代表已经分析好了n个数，则可以退出{for(int i=1;i<=n;i++){if(sd[i]==1)printf("%d ",i);//枚举1到n的每个数，根据状态选择是否打印}puts("");//相当于printf("\n");return ;}sd[u]=1;//表示当前第u个数可以选择dfs(u+1);//继续判断下一个数sd[u]=0;//恢复现场，本来是1则还是1sd[u]=2;//表示该条路不选第u个数dfs(u+1);//继续判断在该种情况下的下一个数sd[u]=0;//恢复现场}
int main()
{cin >> n;dfs(1);//因为先判断第一个数则初始值为1
return 0;
}

4.2.递归实现排列型枚举

把 1∼n 这 n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式

一个整数 n。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围

1≤ n ≤9

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

题解：

字典序:

比如两个数列：A：a1 a2 a3....an和B：b1 b2 b3.....bn

根据序号比较假如想要A>B的话从a1和b1开始比较相等则比较下一个，直到am>bm则算A>B

同理B>A情况相反

而这里只要保证拍的时候数列是升序的，则依次输出的结果就会按照字典序排列

有两种思想：1.依次枚举每个数放到哪个位置

2.依次枚举每个位置放哪个数

下边用的是思想2

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10;
int stede[N];//全局定义时默数据认为0    保存某个位置时对应的某个数
bool used[N];//全局定义时默认是false    记录该数是否被选过，选过则不再选
int n;
void dfs(int u)//u表示正在排第u个位置
{if(u>n)//表示已经排满n个位置，可以输出了{for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d ",stede[i]);//输出数据}puts("");//换行return ;}for(int i=1;i<=n;i++)//从小到大枚举没放过的数{if(!used[i])//状态为没放过的可以进入{stede[u]=i;//第u个位置放iused[i]=true;//数i则改变状态为放过dfs(u+1);//继续判断下一个位置stede[u]=0;//恢复现场used[i]=false;//在上一步中该数没被选过，恢复现场}}}
int main()
{cin>>n;dfs(1);return 0;
}

4.3.递归实现组合型枚举

从 1∼n 这 n个整数中随机选出 m个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

两个整数 n,m在同一行用空格隔开。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1个。

首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如 1 3 5 7 排在 1 3 6 8 前面）。

数据范围

n>0 ,
0≤m≤n
n+(n−m)≤25

输入样例：

5 3

输出样例：

1 2 3 
1 2 4 
1 2 5 
1 3 4 
1 3 5 
1 4 5 
2 3 4 
2 3 5 
2 4 5 
3 4 5 

 题解:

三个位置可以放哪些数，放满则返回数值，这道题跟上边大同小异，可以看到要选出m个数，所以该题有些情况可以不用考虑直接返回的，用到了剪枝思想

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
const int N=20;int st[N];//存放某个位置上放某个数
void dfs(int u,int start)//u代表第u个位置  start因为同一行内要求升序，所以下一个位置要从比该位置大的数开始枚举
{if(u+n-start<m)//当满足该条件时选不够m个数，则直接返回return ;if(u==m+1)//此时u个位置均填满是，输出即可{for(int i=1;i<=m;i++){printf("%d ",st[i]);}puts("");return ;}for(int i=start;i<=n;i++){st[u]=i;//第u个位置填idfs(u+1,i+1);st[u]=0;//恢复现场}
}
int main()
{cin>>n>>m;dfs(1,1);return 0;
}

4.4.带分数

题解：

等式可看成N=a+b/c；

      该题直接看感觉不好看，但是我们读题啊，1~n的数都出现，然后分成三段a b c这不就相当于是全排列，然后分三个区间分别将数组里的数转为一个整数，最后再参与运算，满足则计数器加1即可

    即满足：c*N=a*c+b;

所以该题

1.通过dfs函数得到全排列的所有组合

2.将每个组合分成三段，枚举出所有分成三段的情况

3.将每段转化成整数，判断该整数是否满足等式

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
int cn=0;//计数器，满足等式则+1
bool sf[N];//记录数是否被选过
int sd[N];
int call(int i,int j)//将每段转化成整数输出,i和j把全排列分成三段
{int num=0;for(;i<=j;i++)
num=num*10+sd[i];return num;
}
void dfsabc()//接收dfs函数传来的每个序列，并进行判断
{
int a,b,c;
for(int i=1;i<=6;i++)//因为N最大是1000000，所以最大是7位数，可以减少计算
{for(int j=i+1;j<=8;j++){a=call(1,i);b=call(i+1,j);c=call(j+1,9);if(c*n==a*c+b)cn++;}
}
}
void dfs(int u)
{if(u>9){dfsabc();//将排列好的序列传给dfsabc加工判断return ;}for(int i=1;i<=9;i++){if(!sf[i]){sd[u]=i;sf[i]=true;dfs(u+1);sd[u]=0;sf[i]=false;}}
}
int main()
{cin>>n;dfs(1);printf("%d",cn);return 0;
}

5.最后：

dfs深度搜索算法属于算法的入门级别，建议配合着画图学习效果更佳

码文不易，求三连~