本文主要是介绍个人对Chan算法的粗浅理解（TDOA），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
符号解释
n n n 台监测设备坐标
( x i , y i , z i ) , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n (x_i,y_i,z_i),i=0,1,2,\cdots,n (xi,yi,zi),i=0,1,2,⋯,n
各设备接受到信号的时刻
t i , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n t_i,i=0,1,2,\cdots,n ti,i=0,1,2,⋯,n
信号传播速度
v v v
信号源的位置和信号发出时刻
( x , y , z ) , t (x,y,z),t (x,y,z),t
信号源位置与第 i i i 个设备的直线距离
r i = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 + ( z − z i ) 2 r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2} ri=(x−xi)2+(y−yi)2+(z−zi)2
根据时刻算出的距离差（这里 i i i 不取 0 0 0 ）
Δ r i = r i − r 0 = v ( t i − t 0 ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n \Delta r_i=r_i-r_0=v(t_i-t_0),i=1,2,\cdots,n Δri=ri−r0=v(ti−t0),i=1,2,⋯,n
还有单纯让式子简洁一点的常数替换
k i 2 = x i 2 + y i 2 + z i 2 , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n k^2_i=x^2_i+y^2_i+z^2_i,i=0,1,2,\cdots,n ki2=xi2+yi2+zi2,i=0,1,2,⋯,n
推导过程
先从两个设备开始
r 1 2 − r 0 2 = ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 + ( z − z 1 ) 2 − ( x − x 0 ) 2 − ( y − y 0 ) 2 − ( z − z 0 ) 2 r^2_1-r^2_0=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2 -(x-x_0)^2-(y-y_0)^2-(z-z_0)^2 r12−r02=(x−x1)2+(y−y1)2+(z−z1)2−(x−x0)2−(y−y0)2−(z−z0)2
等式右边变换
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 − x 0 2 − y 0 2 − z 0 2 − 2 x x 1 − 2 y y 1 − 2 z z 1 + 2 x x 0 + 2 y y 0 + 2 z z 0 x^2_1+y^2_1+z^2_1-x^2_0-y^2_0-z^2_0 -2xx_1-2yy_1-2zz_1+2xx_0+2yy_0+2zz_0 x12+y12+z12−x02−y02−z02−2xx1−2yy1−2zz1+2xx0+2yy0+2zz0
换上 k k k ，提公因式
k 1 2 − k 0 2 + 2 [ x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) ] k^2_1-k^2_0+2[x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)] k12−k02+2[x(x0−x1)+y(y0−y1)+z(z0−z1)]
等式左边变换
r 1 2 − r 0 2 r^2_1-r^2_0 r12−r02
平方差公式
( r i − r 0 ) ( r i + r 0 ) (r_i-r_0)(r_i+r_0) (ri−r0)(ri+r0)
凑一下，用 Δ r 1 \Delta r_1 Δr1 消掉 r 1 r_1 r1 （这里少了一个未知量）
= ( r i − r 0 ) ( r i − r 0 + 2 r 0 ) = Δ r 1 ( Δ r 1 + 2 r 0 ) = Δ r 1 2 + 2 Δ r 1 r 0 \begin{align*} &=(r_i-r_0)(r_i-r_0+2r_0)\\ &=\Delta r_1(\Delta r_1+2r_0)\\ &=\Delta r_1^2+2\Delta r_1r_0 \end{align*} =(ri−r0)(ri−r0+2r0)=Δr1(Δr1+2r0)=Δr12+2Δr1r0
现在等式长这样
Δ r 1 2 + 2 Δ r 1 r 0 = k 1 2 − k 0 2 + 2 [ x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) ] \Delta r_1^2+2\Delta r_1r_0 =k^2_1-k^2_0+2[x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)] Δr12+2Δr1r0=k12−k02+2[x(x0−x1)+y(y0−y1)+z(z0−z1)]
移项，化简
x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) − Δ r 1 r 0 = 1 2 ( Δ r 1 2 + k 0 2 − k 1 2 ) x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)-\Delta r_1r_0 =\frac{1}{2}(\Delta r_1^2+k^2_0-k^2_1) x(x0−x1)+y(y0−y1)+z(z0−z1)−Δr1r0=21(Δr12+k02−k12)
注意，上式中只有 4 4 4 个未知量 x , y , z , r 0 x,y,z,r_0 x,y,z,r0
而且方程是线性的
如果有 4 4 4 个这样的方程，构成线性方程组，就可以用高等代数的知识解出这四个未知量
这个方程的使用了 0 , 1 0,1 0,1 两台设备的数据，所以需要再增加三台设备
总共 n = 5 n=5 n=5 台设备就能得到 4 4 4 个方程（ 01 , 02 , 03 , 04 01,02,03,04 01,02,03,04 ）
得到的线性方程组为
[ x 0 − x 1 y 0 − y 1 z 0 − z 1 − Δ r 1 x 0 − x 2 y 0 − y 2 z 0 − z 2 − Δ r 2 x 0 − x 3 y 0 − y 3 z 0 − z 3 − Δ r 3 x 0 − x 4 y 0 − y 4 z 0 − z 4 − Δ r 4 ] [ x y z r 0 ] = 1 2 [ Δ r 1 2 + k 0 2 − k 1 2 Δ r 2 2 + k 0 2 − k 2 2 Δ r 3 2 + k 0 2 − k 3 2 Δ r 4 2 + k 0 2 − k 4 2 ] \left[ \begin{matrix} x_0-x_1&y_0-y_1&z_0-z_1&-\Delta r_1\\ x_0-x_2&y_0-y_2&z_0-z_2&-\Delta r_2\\ x_0-x_3&y_0-y_3&z_0-z_3&-\Delta r_3\\ x_0-x_4&y_0-y_4&z_0-z_4&-\Delta r_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\r_0 \end{matrix} \right]= \frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} \Delta r^2_1+k^2_0-k^2_1\\ \Delta r^2_2+k^2_0-k^2_2\\ \Delta r^2_3+k^2_0-k^2_3\\ \Delta r^2_4+k^2_0-k^2_4 \end{matrix} \right] x0−x1x0−x2x0−x3x0−x4y0−y1y0−y2y0−y3y0−y4z0−z1z0−z2z0−z3z0−z4−Δr1−Δr2−Δr3−Δr4 xyzr0 =21 Δr12+k02−k12Δr22+k02−k22Δr32+k02−k32Δr42+k02−k42
不过，线性方程组也有无解，唯一解和无穷多解三种情况
显然唯一解才是正确的情况
为此需要对数据进行筛选，保证系数矩阵满秩
这篇关于个人对Chan算法的粗浅理解（TDOA）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
