个人对Chan算法的粗浅理解(TDOA)

2024-09-05 13:44

本文主要是介绍个人对Chan算法的粗浅理解(TDOA),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

符号解释

n n n 台监测设备坐标

( x i , y i , z i ) , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n (x_i,y_i,z_i),i=0,1,2,\cdots,n (xi,yi,zi),i=0,1,2,,n

各设备接受到信号的时刻

t i , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n t_i,i=0,1,2,\cdots,n ti,i=0,1,2,,n

信号传播速度

v v v

信号源的位置和信号发出时刻

( x , y , z ) , t (x,y,z),t (x,y,z),t

信号源位置与第 i i i 个设备的直线距离

r i = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 + ( z − z i ) 2 r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2} ri=(xxi)2+(yyi)2+(zzi)2

根据时刻算出的距离差(这里 i i i 不取 0 0 0

Δ r i = r i − r 0 = v ( t i − t 0 ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n \Delta r_i=r_i-r_0=v(t_i-t_0),i=1,2,\cdots,n Δri=rir0=v(tit0),i=1,2,,n

还有单纯让式子简洁一点的常数替换

k i 2 = x i 2 + y i 2 + z i 2 , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n k^2_i=x^2_i+y^2_i+z^2_i,i=0,1,2,\cdots,n ki2=xi2+yi2+zi2,i=0,1,2,,n


推导过程

先从两个设备开始

r 1 2 − r 0 2 = ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 + ( z − z 1 ) 2 − ( x − x 0 ) 2 − ( y − y 0 ) 2 − ( z − z 0 ) 2 r^2_1-r^2_0=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2 -(x-x_0)^2-(y-y_0)^2-(z-z_0)^2 r12r02=(xx1)2+(yy1)2+(zz1)2(xx0)2(yy0)2(zz0)2

等式右边变换

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 − x 0 2 − y 0 2 − z 0 2 − 2 x x 1 − 2 y y 1 − 2 z z 1 + 2 x x 0 + 2 y y 0 + 2 z z 0 x^2_1+y^2_1+z^2_1-x^2_0-y^2_0-z^2_0 -2xx_1-2yy_1-2zz_1+2xx_0+2yy_0+2zz_0 x12+y12+z12x02y02z022xx12yy12zz1+2xx0+2yy0+2zz0

换上 k k k ,提公因式

k 1 2 − k 0 2 + 2 [ x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) ] k^2_1-k^2_0+2[x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)] k12k02+2[x(x0x1)+y(y0y1)+z(z0z1)]

等式左边变换

r 1 2 − r 0 2 r^2_1-r^2_0 r12r02

平方差公式

( r i − r 0 ) ( r i + r 0 ) (r_i-r_0)(r_i+r_0) (rir0)(ri+r0)

凑一下,用 Δ r 1 \Delta r_1 Δr1 消掉 r 1 r_1 r1这里少了一个未知量

= ( r i − r 0 ) ( r i − r 0 + 2 r 0 ) = Δ r 1 ( Δ r 1 + 2 r 0 ) = Δ r 1 2 + 2 Δ r 1 r 0 \begin{align*} &=(r_i-r_0)(r_i-r_0+2r_0)\\ &=\Delta r_1(\Delta r_1+2r_0)\\ &=\Delta r_1^2+2\Delta r_1r_0 \end{align*} =(rir0)(rir0+2r0)=Δr1(Δr1+2r0)=Δr12+r1r0

现在等式长这样

Δ r 1 2 + 2 Δ r 1 r 0 = k 1 2 − k 0 2 + 2 [ x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) ] \Delta r_1^2+2\Delta r_1r_0 =k^2_1-k^2_0+2[x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)] Δr12+r1r0=k12k02+2[x(x0x1)+y(y0y1)+z(z0z1)]

移项,化简

x ( x 0 − x 1 ) + y ( y 0 − y 1 ) + z ( z 0 − z 1 ) − Δ r 1 r 0 = 1 2 ( Δ r 1 2 + k 0 2 − k 1 2 ) x(x_0-x_1)+y(y_0-y_1)+z(z_0-z_1)-\Delta r_1r_0 =\frac{1}{2}(\Delta r_1^2+k^2_0-k^2_1) x(x0x1)+y(y0y1)+z(z0z1)Δr1r0=21(Δr12+k02k12)

注意,上式中只有 4 4 4 个未知量 x , y , z , r 0 x,y,z,r_0 x,y,z,r0

而且方程是线性的

如果有 4 4 4 个这样的方程,构成线性方程组,就可以用高等代数的知识解出这四个未知量

这个方程的使用了 0 , 1 0,1 0,1 两台设备的数据,所以需要再增加三台设备

总共 n = 5 n=5 n=5 台设备就能得到 4 4 4 个方程( 01 , 02 , 03 , 04 01,02,03,04 01,02,03,04

得到的线性方程组为

[ x 0 − x 1 y 0 − y 1 z 0 − z 1 − Δ r 1 x 0 − x 2 y 0 − y 2 z 0 − z 2 − Δ r 2 x 0 − x 3 y 0 − y 3 z 0 − z 3 − Δ r 3 x 0 − x 4 y 0 − y 4 z 0 − z 4 − Δ r 4 ] [ x y z r 0 ] = 1 2 [ Δ r 1 2 + k 0 2 − k 1 2 Δ r 2 2 + k 0 2 − k 2 2 Δ r 3 2 + k 0 2 − k 3 2 Δ r 4 2 + k 0 2 − k 4 2 ] \left[ \begin{matrix} x_0-x_1&y_0-y_1&z_0-z_1&-\Delta r_1\\ x_0-x_2&y_0-y_2&z_0-z_2&-\Delta r_2\\ x_0-x_3&y_0-y_3&z_0-z_3&-\Delta r_3\\ x_0-x_4&y_0-y_4&z_0-z_4&-\Delta r_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\r_0 \end{matrix} \right]= \frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} \Delta r^2_1+k^2_0-k^2_1\\ \Delta r^2_2+k^2_0-k^2_2\\ \Delta r^2_3+k^2_0-k^2_3\\ \Delta r^2_4+k^2_0-k^2_4 \end{matrix} \right] x0x1x0x2x0x3x0x4y0y1y0y2y0y3y0y4z0z1z0z2z0z3z0z4Δr1Δr2Δr3Δr4 xyzr0 =21 Δr12+k02k12Δr22+k02k22Δr32+k02k32Δr42+k02k42

不过,线性方程组也有无解,唯一解和无穷多解三种情况

显然唯一解才是正确的情况

为此需要对数据进行筛选,保证系数矩阵满秩

这篇关于个人对Chan算法的粗浅理解(TDOA)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!


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