【高中数学/基本不等式】若正数a,b满足a＞b,且1/(a+b)+1/(a-b)=1,则3a+2b的最小值是？

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【问题】

若正数a,b满足a>b,且1/(a+b)+1/(a-b)=1,则3a+2b的最小值是？

【来源】

《解题卡壳怎么办 高中数学解题智慧点剖析》P38 余继光 苏德矿合著 浙江大学出版社出版

【如何破题】

1/(a+b)+1/(a-b)=1这个关系式挺复杂，展开后更乱(用三角函数也帮不上忙)，而3a+2b这个表达式相对简单；

如果想让两者相乘，可以用配方的手段，得出的结果一部分能约成实数，一部分可以利用基本不等式；

题设里a>b暗示了a-b是正数，不违反基本不等式的条件。

【解答】

3a+2b=2(a+b)+a=2(a+b)+[(a+b)+(a-b)]/2=2.5*(a+b)+0.5*(a-b)

[2.5*(a+b)+0.5*(a-b) ]* 1=[2.5*(a+b)+0.5*(a-b) ]*[1/(a+b)+1/(a-b)]=2.5+2.5*(a+b)/(a-b)+0.5*(a-b)/(a+b)+0.5

到这里就能发现可以用基本不等式了。

上式=3+2.5*(a+b)/(a-b)+0.5*(a-b)/(a+b)>=3+2*根号下(2.5*0.5)=3+根号5≈5.236

END

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