【调度算法】对偶问题和影子价格

本文主要是介绍【调度算法】对偶问题和影子价格，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、场景引入

先看一个示例：

场景：农场主和市场

假设你是一个农场主，种植了玉米和小麦。你有一块地，同时有一定量的肥料和水资源。你需要决定如何分配这些资源来种植玉米和小麦，以最大化你的收益。

原问题

你的原问题是：如何分配你的土地、肥料和水，使得你种植的玉米和小麦的总收益最大化？

在这个问题中，你会考虑：

• 每种作物需要多少土地？
• 每种作物需要多少肥料和水？
• 每种作物在市场上能卖多少钱？

你的目标是找到一种分配资源的方式，让你获得最大的收益。

对偶问题

现在，让我们从另一个角度来看这个问题：你并不是在直接考虑如何种植作物，而是想象自己是市场上的一个买家，对偶问题就是市场以某种价格购买你所有的资源（如土地、肥料和水），然后决定如何用这些资源来最大化收益。

对市场而言，他们会问自己：

• 这些资源（比如土地、肥料和水）值多少钱？
• 他们愿意为这些资源支付多少费用，才能确保自己在市场上也能最大化收益？

在对偶问题中，市场决定资源的价格，并试图以最小的成本获得足够的资源来达到他们的生产目标。

对偶理论为什么成立？

对偶理论成立的意思是，作为农场主，你希望通过有效利用资源来获得最大的收益，而市场希望通过合理定价来最小化他们的购买成本。理论上，当资源的市场价格正确时，你通过种植作物获得的最大收益，应该与市场为这些资源愿意支付的最小成本相等。

这就像是农场主和市场在博弈：农场主试图通过最优的资源分配来赚取最多的钱，而市场试图通过最优的定价来花费最少的钱。对偶理论告诉我们，这两者在理想情况下（例如资源分配合理、价格公正时）会达到一个平衡点，也就是收益最大化与成本最小化的状态。

实际意义

• 对你作为农场主：你通过解决原问题来决定如何最好地使用资源。
• 对市场：他们通过解决对偶问题来确定资源的价格，以确保能用最小的成本获得所需的资源。

二、数学模型

我们可以基于上面的农场主和市场的例子，构建一个简单的数学模型来表示原问题和对偶问题。

原问题（农场主的视角）

场景

• 你有 ( L ) 单位的土地，( F ) 单位的肥料，和 ( W ) 单位的水。
• 你可以种植两种作物：玉米（Corn）和小麦（Wheat）。
• 每种作物的收益分别为 ( p_C )（每单位玉米的收益）和 ( p_W )（每单位小麦的收益）。

资源消耗

• 玉米需要 ( $a_{CL}$ ) 单位的土地，( $a_{CF}$ ) 单位的肥料，和 ( $a_{CW}$ ) 单位的水。
• 小麦需要 ( $a_{WL}$ ) 单位的土地，( $a_{WF}$ ) 单位的肥料，和 ( $a_{WW}$ ) 单位的水。

农场主的目标

你希望通过种植 ( $x_C$ ) 单位的玉米和 ( $x_W$ ) 单位的小麦来最大化收益：

[$\text{maximize}Z=p_C\cdot x_C+p_W\cdot x_W$ ]

约束条件

你必须遵守以下资源约束：

• 土地约束： ( $a_{CL}\cdot x_C+a_{WL}\cdot x_W\le L$ )
• 肥料约束： ( $a_{CF}\cdot x_C+a_{WF}\cdot x_W\le F$ )
• 水的约束： ( $a_{CW}\cdot x_C+a_{WW}\cdot x_W\le W$ )
• 作物种植量非负： ( $x_C\ge 0$ )，( $x_W\ge 0$ )

对偶问题（市场的视角）

场景

市场希望通过支付一定的价格来获取这些资源。假设市场为土地、肥料和水分别支付的价格为 ( ${\lambda }_L$ )、( ${\lambda }_F$ ) 和 ( ${\lambda }_W$ )。

市场的目标

市场希望以最小的成本获得资源，满足农场主的需求：

[ $\text{minimize}C={\lambda }_L\cdot L+{\lambda }_F\cdot F+{\lambda }_W\cdot W$ ]

约束条件

市场需要确保支付给农场主的价格足够高，使得农场主愿意使用资源来生产玉米和小麦：

• 对玉米： ( ${\lambda }_L\cdot a_{CL}+{\lambda }_F\cdot a_{CF}+{\lambda }_W\cdot a_{CW}\ge p_C$ )
• 对小麦： ( ${\lambda }_L\cdot a_{WL}+{\lambda }_F\cdot a_{WF}+{\lambda }_W\cdot a_{WW}\ge p_W$ )
• 价格非负： ( KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 18: …ambda_L \geq 0 \̲)̲，\( \lambda_F \… )

总结

• 原问题是农场主希望最大化收益，通过选择种植的作物数量来最优地利用资源。
• 对偶问题是市场希望最小化成本，通过确定资源的价格来确保农场主愿意供应这些资源。

在理想情况下，两者的最优解会在某种程度上相互吻合，即原问题的最优收益等于对偶问题的最小成本。

在这个问题中，我们涉及两个概念：市场价格和影子价格。这两个概念在优化问题和经济学中有不同的作用和意义。

三、市场价格和影子价格

1. 市场价格

市场价格指的是在对偶问题中，市场为资源（土地、肥料、水）愿意支付的价格。具体来说，它们是 ( ${\lambda }_L$ )（土地的市场价格）、( ${\lambda }_F$ )（肥料的市场价格）和 ( ${\lambda }_W$ )（水的市场价格）。

这些市场价格表示在市场上每单位资源的价值。市场通过这些价格购买资源，以便满足农场主的生产需求。

2. 影子价格

影子价格（Shadow Price），也称为对偶变量，是在优化问题中引入的一个概念，表示某个约束条件的紧张程度。它反映了在最优解处，每增加一单位该资源能够带来的收益增加量。影子价格是对偶问题中计算出来的，而不是直接在市场上看到的价格。

在这个问题中，影子价格与农场主的资源约束相关联：

• 如果我们考虑土地约束 ( $a_{CL}\cdot x_C+a_{WL}\cdot x_W\le L$ )，那么影子价格告诉我们：如果我们增加一单位土地 ( L )，农场主的最优收益（目标函数的值）将增加多少。
• 同样地，肥料的影子价格会告诉我们：增加一单位肥料 ( F ) 能够增加的收益。
• 水的影子价格则反映了增加一单位水 ( W ) 对收益的提升。

影子价格通常通过对偶问题中的拉格朗日乘子来表示。它们揭示了资源的边际价值，在理想的竞争市场中，影子价格和市场价格在最优解处往往是相等的。

总结

• 市场价格（( ${\lambda }_L$ ), ( ${\lambda }_F$ ), ( ${\lambda }_W$ )）是市场中为每单位资源支付的金额，它由市场供需决定。
• 影子价格是优化问题中用于衡量资源的边际价值的内部价格，它表示在当前的资源约束下，每增加一单位资源能够为农场主带来多少额外收益。

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