【算法进阶2-动态规划】最长公共子序列、欧几里得算法-分数、RSA算法-密码于加密

本文主要是介绍【算法进阶2-动态规划】最长公共子序列、欧几里得算法-分数、RSA算法-密码于加密，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 最长公共子序列
2 欧几里得算法
2.1 欧几里得算法-分数
3 RSA算法-密码于加密

1 最长公共子序列

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-个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得 到的序列。
例:“ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的子序列最长公共子序列(LCS)问题:给定两个序列X和Y，求X和Y长度最大的公共子序列。
例:X="ABBCBDE" Y="DBBCDB" LCS(X,Y)="BBCD"应用场景:字符串相似度比对

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from typing import Tupledef lcs_length(x: str, y: str) -> int:"""计算两个字符串的最长公共子序列 (LCS) 的长度。使用动态规划方法解决LCS问题。LCS问题是指在两个字符串中找到一个最长的子序列，使得这个子序列在两个字符串中都出现，并且保持其相对顺序不变。:param x: 第一个字符串:param y: 第二个字符串:return: 返回两个字符串的最长公共子序列的长度"""m = len(x)  # 第一个字符串的长度n = len(y)  # 第二个字符串的长度# 创建一个 (m+1) x (n+1) 的二维列表 c，用于存储子问题的解# c[i][j] 表示字符串 x 的前 i 个字符和字符串 y 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度c = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]# 填充二维列表 cfor i in range(1, m + 1):  # 遍历字符串 x 的每个字符for j in range(1, n + 1):  # 遍历字符串 y 的每个字符if x[i - 1] == y[j - 1]:  # 如果 x 的第 i 个字符等于 y 的第 j 个字符# 如果字符匹配，当前最长公共子序列的长度是左上角的值 + 1c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1else:# 如果字符不匹配，取上方或左方的最大值c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1])# 打印二维列表 c 的值（用于调试）for _ in c:print('列表的值是：', _)# 返回最长公共子序列的长度，即 c[m][n]return c[m][n]# print(lcs_length("ABCBDAB", "BDCABA"))  # 4# 列表的值是： [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
# 列表的值是： [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
# 列表的值是： [0, 1, 1, 1, 1, 2, 2]
# 列表的值是： [0, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
# 列表的值是： [0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
# 列表的值是： [0, 1, 2, 2, 2, 3, 3]
# 列表的值是： [0, 1, 2, 2, 3, 3, 4]
# 列表的值是： [0, 1, 2, 2, 3, 4, 4]def lcs(x: str, y: str) -> Tuple[int, list]:"""计算两个字符串的最长公共子序列 (LCS) 的长度，并生成动态规划表。使用动态规划方法求解两个字符串的最长公共子序列问题，并返回长度以及记录方向的表，用于后续的LCS路径恢复。:param x: 第一个字符串:param y: 第二个字符串:return: 返回一个元组，包含两个元素：- LCS的长度- 动态规划表 b，其中 b[i][j] 表示到达位置 (i, j) 时的方向"""m = len(x)  # 第一个字符串的长度n = len(y)  # 第二个字符串的长度# 创建一个 (m+1) x (n+1) 的二维列表 c，用于存储子问题的解# c[i][j] 表示字符串 x 的前 i 个字符和字符串 y 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度c = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]# 创建一个 (m+1) x (n+1) 的二维列表 b，用于记录方向# b[i][j] 表示到达位置 (i, j) 时的方向# "←" 表示来自左上方（匹配），# "↑" 表示来自上方（不匹配，向上移动），# "↖" 表示来自左方（不匹配，向左移动）b = [['*' for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]# 填充二维列表 c 和 bfor i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if x[i - 1] == y[j - 1]:  # 如果 x 的第 i 个字符等于 y 的第 j 个字符# 如果字符匹配，当前最长公共子序列的长度是左上角的值 + 1c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1b[i][j] = "←"  # 方向来自于左上方（匹配）elif c[i - 1][j] > c[i][j - 1]:  # 如果来自上方的值大于来自左方的值# 如果上方的值更大，选择上方的值c[i][j] = c[i - 1][j]b[i][j] = "↑"  # 方向来自于上方（不匹配，向上移动）else:# 如果左方的值更大或相等，选择左方的值c[i][j] = c[i][j - 1]b[i][j] = "↖"  # 方向来自于左方（不匹配，向左移动）# 返回最长公共子序列的长度和方向记录表return c[m][n], bc, b = lcs("ABCBDAB", "BDCABA")
for _ in b:print(_)# ['*', '*', '*', '*', '*', '*', '*']
# ['*', '↖', '↖', '↖', '←', '↖', '←']
# ['*', '←', '↖', '↖', '↖', '←', '↖']
# ['*', '↑', '↖', '←', '↖', '↖', '↖']
# ['*', '←', '↖', '↑', '↖', '←', '↖']
# ['*', '↑', '←', '↖', '↖', '↑', '↖']
# ['*', '↑', '↑', '↖', '←', '↖', '←']
# ['*', '←', '↑', '↖', '↑', '←', '↖']def lcs_traceback(x: str, y: str) -> str:"""根据动态规划表回溯，找出两个字符串的最长公共子序列 (LCS)。使用动态规划表 `b` 来回溯最长公共子序列的路径，并从结果表 `c` 中获取最长公共子序列的字符。最终返回最长公共子序列的字符串。:param x: 第一个字符串:param y: 第二个字符串:return: 返回两个字符串的最长公共子序列（LCS）的字符串表示"""# 调用 lcs 函数获取动态规划表 c 和方向记录表 bc, b = lcs(x, y)i = len(x)  # 初始化 i 为第一个字符串的长度j = len(y)  # 初始化 j 为第二个字符串的长度res = []  # 用于存储回溯得到的 LCS 字符# 根据方向记录表 b 从表的右下角开始回溯到左上角while i > 0 and j > 0:if b[i][j] == "←":# 如果方向来自于左上方（匹配），则当前字符是 LCS 的一部分res.append(x[i - 1])i -= 1  # 移动到前一个字符j -= 1  # 移动到前一个字符elif b[i][j] == "↑":# 如果方向来自于上方，则移动到上方的子问题i -= 1else:  # '↖'# 如果方向来自于左方，则移动到左方的子问题j -= 1# 由于回溯过程中字符是从 LCS 的末尾开始添加的，所以需要反转结果列表return "".join(res[::-1])print(lcs_traceback("ABCBDAB", "BDCABA"))  # BDAB

2 欧几里得算法

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def gcd(a: int, b: int) -> int:"""递归求解两个数的最大公约数 (GCD)。使用欧几里得算法通过递归的方式计算两个整数的最大公约数。当第二个数 b 为 0 时，最大公约数是第一个数 a。:param a: 第一个整数:param b: 第二个整数:return: 返回 a 和 b 的最大公约数"""if b == 0:return a  # 基本情况：当 b 为 0 时，a 是最大公约数else:# 递归调用：计算 b 和 a % b 的最大公约数return gcd(b, a % b)print(gcd(12, 16))  # 4def gcd2(a: int, b: int) -> int:"""非递归求解两个数的最大公约数 (GCD)。使用欧几里得算法通过迭代的方式计算两个整数的最大公约数。通过不断更新 a 和 b 直到 b 为 0，此时 a 就是最大公约数。:param a: 第一个整数:param b: 第二个整数:return: 返回 a 和 b 的最大公约数"""while b > 0:r = a % b  # 计算 a 除以 b 的余数a = b  # 更新 a 为 bb = r  # 更新 b 为余数return a  # 当 b 为 0 时，a 是最大公约数print(gcd2(12, 16))  # 4

2.1 动态规划之欧几里得算法-分数

class Fraction:def __init__(self, a: int, b: int):"""初始化一个分数对象，并将其化简为最简分数。:param a: 分子:param b: 分母"""self.a = aself.b = b# 计算最大公约数x = self.gcd(a, b)# 将分子和分母除以最大公约数，化简为最简分数self.a /= xself.b /= x@staticmethoddef gcd(a: int, b: int) -> int:"""非递归求解两个数的最大公约数 (GCD)。使用欧几里得算法通过迭代的方式计算两个整数的最大公约数。通过不断更新 a 和 b 直到 b 为 0，此时 a 就是最大公约数。:param a: 第一个整数:param b: 第二个整数:return: 返回 a 和 b 的最大公约数"""while b > 0:r = a % b  # 计算 a 除以 b 的余数a = b  # 更新 a 为 bb = r  # 更新 b 为余数return a  # 当 b 为 0 时，a 是最大公约数def __str__(self) -> str:"""返回分数的字符串表示形式。:return: 返回分数的字符串表示，例如 "3/4""""return f"{int(self.a)}/{int(self.b)}"@staticmethoddef zgs(a: int, b: int) -> int:"""计算两个数的最小公倍数 (Least Common Multiple, LCM)。使用公式 LCM(a, b) = abs(a * b) / GCD(a, b) 来计算最小公倍数。:param a: 第一个整数:param b: 第二个整数:return: 返回 a 和 b 的最小公倍数，类型为整数"""x = Fraction.gcd(a, b)  # 调用静态方法 gcd 计算最大公约数return a * b // x  # 根据公式计算最小公倍数，使用整数除法返回整数结果def __add__(self, other: 'Fraction') -> 'Fraction':# 3/5 + 2/7"""重载加法运算符，实现两个分数相加。通过计算两个分数的最小公倍数来统一分母，并计算新分数的分子。:param self: 第一个分数对象:param other: 第二个分数对象:return: 返回两个分数相加后的结果，作为新的 Fraction 对象"""a = self.a  # 当前分数的分子b = self.b  # 当前分数的分母c = other.a  # 另一个分数的分子d = other.b  # 另一个分数的分母denominator = self.zgs(b, d)  # 计算两个分数分母的最小公倍数numerator = a * denominator // b + c * denominator // d  # 计算新分数的分子，使用整数除法确保结果为整数return Fraction(int(numerator), int(denominator))  # 返回新的 Fraction 对象，表示两个分数相加的结果# f = Fraction(30, 16)
# print(f)  # 输出 15/8a = Fraction(3, 4)
b = Fraction(1, 2)
print(a + b)  # 5/6