数学基础 -- 定积分的基本思想、定义与性质

本文主要是介绍数学基础 -- 定积分的基本思想、定义与性质，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

定积分的基本思想、定义与性质

1. 定积分的基本思想

定积分的基本思想是通过对函数曲线下的面积进行求和，来表示函数在给定区间上的累积效应。具体来说，给定一个函数 $f (x)$ 和一个区间 $[a, b]$ ，定积分可以看作是将该函数在区间 $[a, b]$ 上分成很多小区间，然后求每个小区间上函数值与小区间长度的乘积，并将这些乘积相加。当小区间变得足够小（趋近于无穷多个极小区间），这些和的极限就是定积分。

2. 定积分的定义

定积分的定义通常依赖于黎曼和的概念。给定函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上，如果将该区间分成 $n$ 个小区间：
$x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$
则在每个小区间 $x_{i-1}, x_i]$ 上选择一个点 $\xi_i$ ，那么函数在该小区间上的值可以近似为 $f(\xi_i)$ ，每个小区间的长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 。于是，可以构造出一个和式：
$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$
当划分越来越细，区间的数量 $n$ 趋于无穷时，这个和式的极限被定义为函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记为：
$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

3. 定积分的性质

定积分有许多重要的性质，这些性质在计算和应用中非常有用：

线性性：对于两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，以及任意常数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，有：
$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx$
区间可加性：如果 $c$ 是区间 $[a, b]$ 上的一个点，那么：
$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$
非负性：如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负，那么定积分也是非负的：
$\text{如果 } f(x) \geq 0 \text{ 对 } x \in [a, b] \text{ 成立，则 } \int_a^b f(x) \, dx \geq 0$
单调性：如果 $\geq g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上成立，则：
$\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b g(x) \, dx$
绝对值不等式：对于任意函数 $f (x)$ ，有：
$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx$
积分中值定理：如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则存在一个点 $\in [a, b]$ 使得：
$\int_a^b f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a)$
换元积分法：如果 $\phi(t)$ 是可微函数，那么：
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) \, dt$