最短路算法总结(dijkstra,flyod,bellmanford,spfa)

本文主要是介绍最短路算法总结(dijkstra,flyod,bellmanford,spfa)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

总结

	$dijkstra$	$heap-dijkstra$	$bellmanford$	$spfa$	$floyd$
最短路类型	单源	单源	单源	单源	全源
数据维护	$e[u]d[u]vis[u]$	$e[u]d[u]vis[u]$ 优先队列：距离优先	$e[u]d[u$]	$e[u]d[u]vis[u]$ 队列：时间优先	$d[u]$
算法	贪心 松弛 出圈	贪心 松弛 入队 出队	所有边松弛	出队点的出边松弛	动态规划（插点法）
负边权	不能	不能	能	能	能
判负环	不能	不能	能	能	能
时间复杂度	$O(n^2)$	$O((m+n)logm$)	$O(nm$)	$O(kmnm)$	$O(n^3)$

下附代码实现

dijkstra

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_N 100000
#define inf 9999999
int n,m,s;
struct edge{int v,w;
};
vector<edge>e[MAX_N+5];
int d[MAX_N+5];
int vis[MAX_N+5];
void dijkstra()
{for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=inf;d[s]=0;for(int i=1;i<n;i++){int u=0;for(int j=1;j<=n;j++)if(!vis[j]&&d[u]>d[j])u=j;vis[u]=1;for(auto ed:e[u]){int v=ed.v,w=ed.w;if(d[v]>d[u]+w)d[v]=d[u]+w;}}
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);e[a].push_back({b,c});}dijkstra();for(int i=1;i<=n;i++)cout<<d[i]<<" ";return 0;
}

heap_dijkstra

基于优先队列优化的dijkstra

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_N 100000
#define inf 0x7f7f7f7f
int n,m,s;
struct edge{int v,w;
};
vector<edge>e[MAX_N+5];
int d[MAX_N+5];
int vis[MAX_N+5];
priority_queue<pair<int,int>>p;
void dijkstra()
{p.push({0,s});for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=inf;d[s]=0;while(p.size()){pair<int,int>t=p.top();p.pop();int u=t.second;if(vis[u])continue;vis[u]=1;for(auto ed:e[u]){int v=ed.v,w=ed.w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;p.push({-d[v],v});}}}
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);e[a].push_back({b,c});}dijkstra();for(int i=1;i<=n;i++)cout<<d[i]<<" ";return 0;
}

floyd

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_N 100
#define inf 9999999
int n,m;
struct edge{int v,w;
};
int d[MAX_N+5][MAX_N+5];
int p[MAX_N+5][MAX_N+5];
void floyd()
{for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]){d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];p[i][j]=k;} }}}return ;
}
void path(int i,int j)
{if(!p[i][j])return ;int k=p[i][j];path(i,k);printf("%d",k);path(k,j);return ;
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)d[i][j]=inf;d[i][i]=0;}for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);d[a][b]=c;}floyd();for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<d[i][j]<<" ";cout<<endl;}int x,y;cin>>x>>y;cout<<x;path(x,y);cout<<y;return 0;
}

bellmanford

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_N 1000000
#define inf 0x7f7f7f7f
struct edge{int v,w;
};
vector<edge>e[MAX_N+5];
int d[MAX_N+5];
int n,m,s;
bool bellmanford()
{bool flag=0;for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=inf;d[s]=0;for(int i=1;i<=n;i++){flag=0;for(int u=1;u<=n;u++){if(d[u]==inf)continue;for(auto ed:e[u]){int v=ed.v,w=ed.w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;flag=1;}}}if(!flag)break;}return flag;
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);e[a].push_back({b,c});}cout<<bellmanford()<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)cout<<d[i]<<" "; return 0;
}

spfa

基于队列优化的bellmanford

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX_N 1000000
#define inf 0x7f7f7f7f
struct edge{int v,w;
};
vector<edge>e[MAX_N+5];
int d[MAX_N+5];
int vis[MAX_N+5];
int cnt[MAX_N+5];
int n,m,s;
queue<int>q;
bool spfa()
{bool flag=0;for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=inf;d[s]=0;q.push(s);while(!q.empty()){int u=q.front();vis[u]=0;q.pop();for(auto ed:e[u]){int v=ed.v,w=ed.w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;cnt[v]=cnt[u]+1;if(cnt[v]>=n)return 0;if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;}}}return 1;
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);e[a].push_back({b,c});}cout<<bellmanford()<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)cout<<d[i]<<" "; return 0;
}

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