本文主要是介绍最大流问题之Ford-Fulkerson，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
最大流问题的Ford-Fulkerson解法。可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。本文将会详细介绍这些内容，下一篇文章我们提供一种该方法的Java实现。
在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。
举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。
当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。
接下来我们就介绍如何寻找增广路径。在介绍增广路径之前，我们首先需要介绍残留网络的概念。
一、残留网络
顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C代表边容量），从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义如下：
r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）
举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。
我们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。可以这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。
我们来具体看一个例子，如下图所示一个流网络
其对应的残留网络为：
二、增广路径
在了解了残留网络后，我们来介绍增广路径。已知一个流网络G和流f，增广路径p是其残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，向这条路径压入流量，可以增加整个网络的流值。上面的残留网络中，存在这样一条增广路径：
其可以压入4个单位的流量，压入后，我们得到一个新的流网络，其流量比原来的流网络要多4。这时我们继续在新的流网络上用同样的方法寻找增广路径，直到找不到为止。这时我们就得到了一个最大的网络流。
三、流网络的割
上面仅仅是介绍了方法，可是怎么证明当无法再寻找到增广路径时，就证明当前网络是最大流网络呢？这就需要用到最大流最小割定理。
首先介绍下，割的概念。流网络G（V，E）的割（S，T）将V划分为S和T=V-S两部分，使得s属于S，t属于T。割（S，T）的容量是指从集合S到集合T的所有边（有方向）的容量之和（不算反方向的，必须是S-àT）。如果f是一个流，则穿过割（S，T）的净流量被定义为f（S，T）（包括反向的，SàT的为正值，T—>S的负值）。将上面举的例子继续拿来，随便画一个割，如下图所示：
割的容量就是c(u,w)+c(v,x)=26
当前流网络的穿过割的净流量为f(u,w)+f(v,x)-f(w,v)=12+11-4=19
显然，我们有对任意一个割，穿过该割的净流量上界就是该割的容量，即不可能超过割的容量。所以网络的最大流必然无法超过网络的最小割。
可是，这跟残留网络上的增广路径有什么关系呢？
首先，我们必须了解一个特性，根据上一篇文章中讲到的最大流问题的线性规划表示时，提到，流网络的流量守恒的原则，根据这个原则我们可以知道，对网络的任意割，其净流量的都是相等的。具体证明是不难的，可以通过下图形象的理解下，
和上面的割相比，集合S中少了u和v，从源点s到集合T的净流量都流向了u和v，而在上一个割图中，集合S到集合T的流量是等于u和v到集合T的净流量的。其中w也有流流向了u和v，而这部分流无法流向源点s，因为没有路径，所以最后这部分流量加上s到u和v的流量，在u和v之间无论如何互相传递流，最终都要流向集合T，所以这个流量值是等于s流向u和v的值的。将s比喻成一个水龙头，u和v流向别处的水流，都是来自s的，其自身不可能创造水流。所以任意割的净流量都是相等的。
万事俱备，现在来证明当残留网络Gf中不包含增广路径时，f是G的最大流。
假设Gf中不包含增广路径，即Gf不包含从s到v的路径，定义S={v:Gf中从s到v存在一条通路}，也就是Gf中s能够有通路到达的点的集合，显然这个集合不包括t，因为s到t没有通路。这时，我们令T=V-S。那么（S，T）就是一个割。如下图所示：
那么，对于顶点u属于S，v属于T，有f（u，v）=c（u，v）。否则（u，v）就存在残余流量，因而s到u加上u到v就构成了一条s到v的通路，所以v就必须属于S，矛盾。因此这时就表明当前流f是等于当前的割的容量的，因此f就是最大流。
三. java实现
先借助伪代码熟悉下流程
FORD-FULKERSON（G，t，s）
1 for each edge(u,v)属于E（G）
2 do f[u,v]=0
3 f[v,u]=0
4 while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
5 do cf(p)=min{cf(u,v):(u,v)is in p}
6 for each edge (u,v) in p
7 do f[u,v]=f[u,v]+cf(p)
8 f[v,u]=-f[u,v]
如果在4行中用广度优先搜索来实现对增广路径p的计算，即找到s到t的最短增广路径，能够改进FORD-FULERSON的界，这就是Ford-Fulkerson方法的Edmonds-Karp算法
证明该算法的运行时间为O（VE*E），易知，对流增加的全部次数上界为O（VE），每次迭代时间O（E）
class FordFulkerson{private double residualNetwork[][]=null;private double flowNetwork[][]=null;public final int N;int parent[];public FordFulkerson(int N){this.N=N;parent=new int[N];}/*** 实现FordFulkerson方法的一种算法——edmondsKarp算法* @param graph* @param s* @param t* @return*/public double edmondsKarpMaxFlow(double graph[][],int s,int t){int length=graph.length;double f[][]=new double[length][length];for(int i=0;i<length;i++){Arrays.fill(f[i], 0);}double r[][]=residualNetwork(graph,f);double result=augmentPath(r,s,t);double sum=0;while(result!=-1){int cur=t;while(cur!=s){f[parent[cur]][cur]+=result;f[cur][parent[cur]]=-f[parent[cur]][cur];r[parent[cur]][cur]-=result;r[cur][parent[cur]]+=result;cur=parent[cur];}sum+=result;result=augmentPath(r,s,t);}residualNetwork=r;flowNetwork=f;return sum;}/*** deepCopy* @param c* @param f* @return*/private double[][] residualNetwork(double c[][],double f[][]) {int length=c.length;double r[][]=new double[length][length];for(int i=0;i<length;i++){for(int j=0;j<length;j++){r[i][j]=c[i][j]-f[i][j];}}return r;}/*** 广度优先遍历，寻找增光路径，也是最短增广路径* @param graph* @param s* @param t* @return*/public double augmentPath(double graph[][],int s,int t){double maxflow=Integer.MAX_VALUE;Arrays.fill(parent, -1);Queue<Integer> queue=new LinkedList<Integer>();queue.add(s);parent[s]=s;while(!queue.isEmpty()){int p=queue.poll();if(p==t){while(p!=s){if(maxflow>graph[parent[p]][p])maxflow=graph[parent[p]][p];p=parent[p];}break;}for(int i=0;i<graph.length;i++){if(i!=p&&parent[i]==-1&&graph[p][i]>0){//flow[i]=Math.min(flow[p], graph[p][i]);parent[i]=p;queue.add(i);}}}if(parent[t]==-1)return -1;return maxflow;}public double[][] getResidualNetwork() {return residualNetwork;}public double[][] getFlowNetwork() {return flowNetwork;}}转载链接:http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293805
这篇关于最大流问题之Ford-Fulkerson的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
