关于定义域有界性的三种判断

本文主要是介绍关于定义域有界性的三种判断，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

关于定义域有界性的三种判断

@(微积分)

给定一个函数，讨论其在定义域上是否有界，有三种方法。不敢说常见，提出来思考。

• 理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

• 计算法：切分

  • (a,b)内连续
  • $\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)存在$
  • $\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)存在$
    则f(x)在定义域[a,b]内有界。

• 运算规则判定：在边界极限不存在时

  • 有界函数 $\pm$ 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）
  • 有界 x 有界 = 有界

这是三种看似没什么用的结论，但是用起来才能明白它的效用。

举个例子：

讨论函数$f(x) = \frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}$在其定义域上的有界性。

分析：这种看着也挺简单的，对吧。

从这个函数中可以看出，定义域是$(-\infty,0) \cup(0,+\infty)$。

分成两段，那么问题将转化为四个极限的求解。

limx→−∞f

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