统计学习方法-Logistic（逻辑斯蒂）回归

本文主要是介绍统计学习方法-Logistic（逻辑斯蒂）回归，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

reference： http://f.dataguru.cn/thread-128261-1-1.html

                        http://blog.tomtung.com/2011/10/logistic-regression

                       http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/05/1971867.html

                      http://chen.yi.bo.blog.163.com/blog/#m=0

 

我们在做线性回归分析时，其实是用y=mx+b直线去拟合我们的样本点，如果样本点和直线拟合很好，我们就可以得出样本点的线性相关性很强，通常用决定系数R2来表示。在寻找拟合直线的方法是最小二乘法，其实质就是找样本点离直线距离的最小平方和。这个我在白话线性回归中已经讲到。前面我都参考KHAN的统计学视频，可惜的是logistic回归里面没有讲了，今天这篇文章主要参考的是《Logistic回归模型:方法与应用》王济川，郭志刚。

为什么要用logistic回归？

我们在线性回归分析时，有时会遇到因变量y不是连续值，而是离散的，很多情况是0-1变量。如分析顾客对于商品行为的导致的结果是买（1）还是不买（0），分析股票的各种数据，因变量也是买（1）、不买（0）…。这种因变量如果我们还是使用线性回归，得到的直线一定与样本拟合得不好。举个例子，我们考察选民年收入和给某个候选人投票的相关性，如果我用线性回归来做。设回归方程为y=mx+b+e（为了严谨e为方程的干扰值，与x无关，服从正态分布，平均值为0）。显然，y=0，表示未投票；y=1表示投票。一定要记住由于e的存在，yi的值只能是一个统计值，也许每次的yi都不一样（夸张了点）。我们可以得到任意yi期望E(yi|xi)=E(mxi+b+e)= E(mxi+b)+E(e)= E(mxi+b)+0= mxi+b。

而yi 的值取（0，1），yi期望E(yi|xi)= P(yi=1|xi)，其实就是yi=1的条件概率（比如有5个取值0,1,1,0,1，平均值为0.6，也就是y取1的概率为0.6）。因此因变量为二分类的线性规划模型又叫线性概率模型（linear probability model）。如果模型是线性的，很显然，如果xi是一个很大的值（如年收入1亿），那么我们得到的yi很可能大于1，相反如果年收入是一个很小的值（如-100000）,那yi的值很可能得到一个小于0的值。实际上，这很可能是个分段函数模型，这对于线性回归就不方便计算了。

什么是Logistic回归模型

但是，有一点可以确定，yi=1的概率P(yi=1|xi)与xi的应该是一个单调递增关系，用非线性模型来描述也许更加准确。这个单调关系应该是这样，xi增加时P(yi=1|xi)随之增加，到达一定的区域，这种增加时很小的，比如xi=1000000后，xi再继续增加，p的增加就不那么明显了，从统计的角度，P只能无限接近1，不能等于1。这种单调关系用S形状的曲线描述也许很合适（拟合得更好），这就是logitic函数的曲线。我们可以将事件发生的概率写成：

P(yi=1|xi)=1/（1+exp(-mx-b)）  （1）

这是一个非线性函数，我们可以将其转化为一个线性函数

事件不发生的概率为P(yi=0|xi)=1-P(yi=1|xi)=1 - 1/（1+exp(-mx-b)）

事件发生概率和不发生概率之比为

p/(1-p) =exp(mx+b)两边去对数得到

ln(p/(1+p))=mx+b  （2）

（1）（2）都是Logistic回归模型。

我们求解该模型，实际上就是求参数m,b。

设pi= P(yi=1|xi)是给定xi条件下y=1的概率，同样条件下得到y=0的概率为1-pi，那么，得到一个观测值（Pi=0或者1）概率为Pi=pi^yi*(1-pi)^(1-yi)。取n个观测值（n个不同xi）的分布概率为n个pi^yi*(1-pi)^(1-yi)相乘，表示为ln(θ)=Π(pi^yi*(1-pi)^(1-yi))，这就是n个观测值的似然分布函数。我们求解模型就是求解该函数最大值的参数估计值（m，b）。

 

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Logistic 回归解决的并不是回归问题，而是分类问题，即目标变量（target variable）的值是离散而非连续的。这时目标变量也可称为标签（label）。如果仍用线性回归硬搞，得到的结果会非常不靠谱。

我们先考虑简单的情况：数据点只有 0 和 1 两个标签（binary classification），即[Math Processing Error] ，且大致上是线性可分的（linearly separable）。如图：

那么现在问题就是要找到一个[Math Processing Error] ，使得直线[Math Processing Error] ¹ 能够将上面图中的 positive 和 negative 两类数据点“分开”；这样的一条直线称为决策边界（decision boundary）。 ——但具体什么叫“分开”？或者说，如果已知[Math Processing Error] ，对于一个标签未知的数据点[Math Processing Error] ，怎么判断它是 positive 还是 negative？

直观上看，在给定[Math Processing Error] 和[Math Processing Error] 的情况下，[Math Processing Error] 应该满足一个0-1 分布，即

[Math Processing Error]

其中[Math Processing Error] 应该满足：

1. 首先[Math Processing Error]
2. 若[Math Processing Error] ，我们可以认为[Math Processing Error] 的可能性相对更大，即[Math Processing Error] ，且如果数据点离边界越远，即[Math Processing Error] 越大，[Math Processing Error] 也应该越大。
3. 反之，若[Math Processing Error] ，则

这篇关于统计学习方法-Logistic（逻辑斯蒂）回归的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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