【数学】常用等价无穷小及其注意事项示例

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常用极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$	${\lim }_{x\to 0}(x+1{)}^{\frac{1}{x}}=e$	${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a}=1$
${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$	${\lim }_{x\to +\infty }\arctan x=\frac{\pi }{2}$	${\lim }_{x\to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$
${\lim }_{x\to +\infty }\text{arccot}x=0$	${\lim }_{x\to -\infty }\text{arccot}x=\pi$	${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$
${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x=\infty$	${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=1$	${\lim }_{x\to \infty }(\frac{1}{x}+1{)}^x=e$

常用等价无穷小：$x\to 0$，替换条件：只能分子及分母中因式分解可替换

$\sin x\sim x$	$\tan x\sim x$	$\arcsin x\sim x$
$\arctan x\sim x$	$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$	$\ln (1+x)\sim x$
$e^x-1\sim x$	$a^x-1\sim x\ln a$	$(1+x{)}^{\alpha }\sim \alpha x$
$\sin x-x\sim -\frac{1}{6}{x}^3$

等价无穷小替换注意：

1、被替换的量必须是无穷小量（取极限为0）

例：${\lim }_{x\to 0}{x}^2\ast \sin \frac{1}{x^2}$

$\because {\lim }_{x\to 0}{x}^2=0，{\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x^2}极限不存在且为有界函数$

$\therefore 无穷小与有界的集为无穷小，{\lim }_{x\to 0}{x}^2\ast \sin \frac{1}{x^2}=0$

2、被替换的量，必须是被乘式被除的元素

例：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$

$\because {\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x(\cos x-1)}{x^3}，{\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

$\therefore {\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=-1\ast \frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=-\frac{1}{2}$

3、必须整体替换：不能替换局部

例：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x(x+1)}{x}$

$\because {\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x(x+1)}{x}={\lim }_{x\to 0}1\ast (1+x)=0$

例：${\lim }_{x\to 0}(\frac{e^x+x{e}^x}{e^x-1}-\frac{1}{x})$

$\because {\lim }_{x\to 0}(\frac{e^x+x{e}^x}{e^x-1}-\frac{1}{x})={\lim }_{x\to 0}(\frac{e^x(1+x)}{e^x-1}-\frac{1}{x})\ast {\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x(x^2+x-1)+1}{x^2}$

$\therefore 上述是\frac{0}{0},对{\lim }_{x\to 0}\frac{e^x(x^2+x-1)+1}{x^2}上下同时求导得$

${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x(x^2+x-1)+1}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x(x^2+3x)}{2x}=\frac{3}{2}$

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