BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化dp）

本文主要是介绍BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化dp），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description
　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input
　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output
　　输出最小费用

Sample Input
5 4

4
Sample Output
1
HINT
Source

参考题解：https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/91369545
思路：
$dp[i] = min(dp[j] + (sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L)^2)$
令 $a [i] = s u m [i] + i; b [i] = s u m [i] + i + L + 1$
$x (i) = b [i], y (i) = d p [i] + b [i] * b [i]$

最后变形为
$d p [j] + b [j] * b [j] = 2 * a [i] * b [j] + d p [i] - a [i] * a [i] .$
也即 $y (j) = 2 * a [i] * x (j) + d p [i] - a [i] * a [i] 。$
令斜率k等于 $2 * a [i], 截距 b = d p [i] - a [i] * a [i] 。$

目的是dp[i]最小，类似线性规划，你有一条直线，和一堆点（以前算过的j点），那么就是寻找一个j点使得截距最小。

这样就是用单调队列维护一个下凸包（U型），只有最外层对应下凸包的点才有意义，选这里面的点才能保证斜率最低。

队首两点斜率小于2 * a[i]，那就去掉队首，因为直线肯定不会交到队首。剩下的那个点就是与直线相交的点

q[r]和q[r-1]的斜率大于q[i]和q[r]的斜率，意味着这里凹进去了，肯定选不到r这个点，出队尾。

维护下凸包的意义在于，截距尽可能小的候选点只在这之间。

需要注意的是：算斜率的时候要保证凸包里面至少两个点，且0点一开始就有。

#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;
const int maxn = 5e4 + 7;
int q[maxn];
ll n,L;
ll sum[maxn],dp[maxn];double a(ll i){return sum[i] + i;}
double b(ll i){return sum[i] + i + L + 1;}
double x(ll i){return b(i);}
double y(ll i){return dp[i] + b(i) * b(i);}
double slope(ll i,ll j){return (y(i) - y(j)) / (x(i) - x(j));}void IN()
{scanf("%lld%lld",&n,&L);for(int i = 1;i <= n;i++)scanf("%lld",&sum[i]);for(int i = 1;i <= n;i++)sum[i] += sum[i - 1];
}void DP()
{int l = 1,r = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){while(l < r && slope(q[l],q[l + 1]) < 2 * a(i))l++;int j = q[l];dp[i] = dp[j] + (a(i) - b(j)) * (a(i) - b(j));while(l < r && slope(q[r],q[r - 1]) > slope(i,q[r]))r--;q[++r] = i;}printf("%lld\n",dp[n]);
}int main()
{IN();DP();return 0;
}