【机器学习基础】判别函数

本文主要是介绍【机器学习基础】判别函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本系列为《模式识别与机器学习》的读书笔记。

一，分类线性模型概述

分类的⽬标是将输⼊变量 $\mathbf{x}$ 分到 $K$ 个离散的类别 ${\mathcal{C}}_k$ 中的某⼀类。 最常见的情况是， 类别互相不相交， 因此每个输⼊被分到唯⼀的⼀个类别中。因此输⼊空间被划分为不同的决策区域（decision region），它的边界被称为决策边界（decision boundary）或者决策⾯（decision surface）。

分类线性模型是指决策⾯是输⼊向量 $\mathbf{x}$ 的线性函数，因此被定义为 $D$ 维输⼊空间中的 $(D-1)$ 维超平⾯。如果数据集可以被线性决策⾯精确地分类，那么我们说这个数据集是线性可分的（linearly separable）。

在线性回归模型中，使⽤⾮线性函数 $f(\cdot )$ 对 $\mathbf{w}$ 的线性函数进⾏变换，即
$$y(\mathbf{x})=f({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+w_0)\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
在机器学习的⽂献中，$f(\cdot )$ 被称为激活函数（activation function），⽽它的反函数在统计学的⽂献中被称为链接函数（link function）。决策⾯对应于 $y(\mathbf{x})=常数$，即 ${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+w_0=常数$，因此决策⾯是 $\mathbf{x}$ 的线性函数，即使函数 $f(\cdot )$ 是⾮线性函数也是如此。因此，由公式(4.1)描述的⼀类模型被称为推⼴的线性模型（generalized linear model）（McCullagh and Nelder, 1989）。

如图4.1，⼆维线性判别函数的⼏何表⽰。决策⾯（红⾊）垂直于 $\mathbf{w}$ ，它距离原点的偏移量由偏置参数 $w_0$ 控制。

二，判别函数

判别函数是⼀个以向量 $\mathbf{x}$ 为输⼊，把它分配到 $K$ 个类别中的某⼀个类别（记作 ${\mathcal{C}}_k$ ）的函数。

1，⼆分类

线性判别函数的最简单的形式是输⼊向量的线性函数，即
$$y(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+w_0\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
其中 $\mathbf{w}$ 被称为权向量（weight vector），$w_0$ 被称为偏置（bias）。偏置的相反数有时被称为阈值（threshold）。

考虑两个点 ${\mathbf{x}}_A$ 和 ${\mathbf{x}}_B$ ，两个点都位于决策⾯上。 由于 $y({\mathbf{x}}_A)=y({\mathbf{x}}_B)=0$，我们有 ${\mathbf{w}}^T({\mathbf{x}}_A-{\mathbf{x}}_B)=0$，因此向量 $\mathbf{w}$ 与决策⾯内的任何向量都正交，从⽽ $\mathbf{w}$ 确定了决策⾯的⽅向。类似地，如果 $\mathbf{x}$ 是决策⾯内的⼀个点，那么 $y(\mathbf{x})=0$ ，因此从原点到决策⾯的垂直距离为
$$\frac{{\mathbf{w}}^T\mathbf{x}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }=-\frac{w_0}{\Vert \mathbf{x}\Vert }\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
其中，偏置参数 ${\mathbf{w}}_0$ 确定了决策⾯的位置。

记任意⼀点 $\mathbf{x}$ 到决策⾯的垂直距离 $r$ ，在决策⾯上的投影 ${\mathbf{x}}_{\perp }$ ，则有
$$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{\perp }+r\frac{\mathbf{w}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
利用已知公式和 $y({\mathbf{x}}_{\perp })=0$ 可得
$$r=\frac{y(\mathbf{x})}{\Vert w\Vert }\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
为方便简洁，引⼊“虚”输⼊ $x_0=1$ ，并且定义 $\tilde{\mathbf{w}}=(w_0,\mathbf{w})$ 以及 $\tilde{\mathbf{x}}=(x_0,\mathbf{x})$ ，从⽽
$$y(\mathbf{x})={\tilde{\mathbf{w}}}^T\tilde{\mathbf{x}}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$
在这种情况下， 决策⾯是⼀个 $D$ 维超平⾯， 并且这个超平⾯会穿过 $D+1$ 维扩展输⼊空间的原点。

2，多分类

考虑把线性判别函数推⼴到 $K>2$ 个类别。

方法一，使⽤ $K-1$ 个分类器，每个分类器⽤来解决⼀个⼆分类问题，把属于类别 ${\mathcal{C}}_k$ 和不属于那个类别的点分开。这被称为“1对其他”（one-versus-the-rest）分类器。此方法的缺点在于产⽣了输⼊空间中⽆法分类的区域。

方法二，引⼊ $\frac{K(K-1)}{2}$ 个⼆元判别函数， 对每⼀对类别都设置⼀个判别函数。 这被称为“1对1”（one-versus-one）分类器。每个点的类别根据这些判别函数中的⼤多数输出类别确定，但是，这也会造成输⼊空间中的⽆法分类的区域。

如图4.2，尝试从⼀组两类的判别准则中构建出⼀个 $K$ 类的判别准则会导致具有奇异性的区域， ⽤绿⾊表⽰。

方法三，通过引⼊⼀个 $K$ 类判别函数，可以避免上述问题。这个 $K$ 类判别函数由 $K$ 个线性函数组成，形式为
$$y_k(\mathbf{x})={\mathbf{w}}_k^T\mathbf{x}+w_{k0}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$
对于点 $\mathbf{x}$ ，如果对于所有的 $j\ne k$ 都 有 $y_k(\mathbf{x})>y_j(\mathbf{x})$ ，那么就把它分到 ${\mathcal{C}}_k$ 。 于是类别 ${\mathcal{C}}_k$ 和 ${\mathcal{C}}_j$ 之间的决策⾯为 $y_k(\mathbf{x})=y_j(\mathbf{x})$，并且对应于⼀个 $(D-1)$ 维超平⾯，形式为
$$({\mathbf{w}}_k-{\mathbf{w}}_j{)}^T\mathbf{x}+(w_{k0}-w_{j0})=0\text{\hspace{1em}(4.8)}$$
考虑两个点 ${\mathbf{x}}_A$ 和 ${\mathbf{x}}_B$ ，两个点都位于决策区域 ${\mathcal{R}}_k$ 中， 任何位于连接 ${\mathbf{x}}_A$ 和 ${\mathbf{x}}_B$ 的线段上的点都可以表⽰成下⾯的形式
$$\hat{\mathbf{x}}=\lambda {\mathbf{x}}_A+(1-\lambda ){\mathbf{x}}_B\text{\hspace{1em}(4.9)}$$
其中，$0\le \lambda \le 1$ 。根据判别函数的线性性质，有
y k ( x ^ ) = λ y k ( x A ) + ( 1 − λ ) y k ( x B ) (4.10) y_{k}(\hat{\boldsymbol{x}})=\lambda y_{k}(\boldsymbol{x}_{A})+(1-\lambda)y_{k}(\boldsymbol{x}_{B})\tag{4.10}

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