【机器学习基础】概率分布之变量

本文主要是介绍【机器学习基础】概率分布之变量，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本系列为《模式识别与机器学习》的读书笔记。

一，二元变量

1，二项分布

考虑⼀个⼆元随机变量 x ∈ { 0 , 1 } x \in \{0, 1\} x∈{0,1}。 例如，$x$ 可能描述了扔硬币的结果，$x=1$ 表⽰“正⾯”，$x=0$ 表⽰反⾯。我们可以假设有⼀个损坏的硬币，这枚硬币正⾯朝上的概率未必等于反⾯朝上的概率。$x=1$ 的概率被记作参数 $\mu$，因此有：
$$p(x=1|\mu )=\mu \text{\hspace{1em}(2.1)}$$
其中 $0\le \mu \le 1$ 。$x$ 的概率分布因此可以写成：
$$\text{Bern}(x|\mu )={\mu }^x(1-\mu {)}^{1-x}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
这被叫做伯努利分布（Bernoulli distribution）。容易证明，这个分布是归⼀化的，并且均值和⽅差分别为：
$$\mathbb{E}[x]=\mu \text{\hspace{1em}(2.3)}$$

$$\text{var}[x]=\mu (1-\mu )\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

如图 2.1： ⼆项分布关于 $m$ 的函数的直⽅图，其中 $N=10$ 且 $\mu =0.25$。

假设我们有⼀个 $x$ 的观测值的数据集 D = { x 1 , … , x N } \mathcal{D} = \{x_1 ,\dots, x_N\} D={x1​,…,xN​}。假设每次观测都是独⽴地从 $p(x|\mu )$ 中抽取的，因此可以构造关于 $\mu$ 的似然函数：
$$p(\mathcal{D}|\mu )=\prod _{n=1}^{N}p(x_n|\mu )=\prod _{n=1}^N{\mu }^{x_n}(1-\mu {)}^{1-x_n}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
其对数似然函数：
ln ⁡ p ( D ∣ μ ) = ∑ n = 1 N ln ⁡ p ( x n ∣ μ ) = ∑ n = 1 N { x n ln ⁡ μ + ( 1 − x n ) ln ⁡ ( 1 − μ ) } (2.6) \ln p(\mathcal{D}|\mu) = \sum_{n=1}^{N}\ln p(x_{n}|\mu) = \sum_{n=1}^{N}\{ x^n \ln \mu + (1-x^n) \ln (1-\mu)\}\tag{2.6} lnp(D∣μ)=n=1∑N​lnp(xn​∣μ)=n=1∑N​{xnlnμ+(1−xn)ln(1−μ)}(2.6)
在公式(2.6)中，令 $\ln p(\mathcal{D}|\mu )$ 关于 $\mu$ 的导数等于零，就得到了最⼤似然的估计值，也被称为样本均值（sample mean）：
$${\mu }_{ML}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}_n\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
求解给定数据集规模 N

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