流形和图形的关系

2024-03-29 07:20

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本文主要是介绍流形和图形的关系，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

搬运学习一篇arkiv文章《The Mathematical Foundations of Manifold Learning》，主要介绍流形和图的关系。文章doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2011.01307

乍一看这两个数学概念似乎并不相似，因为图一般研究其组合性质，流形一般研究其拓扑和几何性质。然而，这两个概念存在深刻的关系，在作者Luke Melas-Kyriazi之前，就有学者研究了图和流形的关系，在“How is a graph like a manifold?”的文章中通过群的角度进行了阐释。而作者最核心的观点就是：两者通过拉普拉斯算子这种自然算子产生联系，拉普拉斯的谱性质能够同时考虑图的组合学和流形的几何学。结论是：图是流形的离散版本，流形是图的连续版本。

在图或者流形上，分别讨论光滑性。

首先是图 $G=(V,E)$ ， $G$ 上定义在结点的实值函数 $f:V->R$ ，如果图上的函数在一个结点上的值与其相邻结点上的值相似，那么这个函数就是光滑的。使用平方差来度量可以得到 $\sum_{(i,j)\in E}(f(i)-f(j))^2$ ，将表达式转成对称二次型，存在一个对称矩阵 $f^TLf=\sum_{(i,j)\in E}(f(i)-f(j))^2$ ，其中 $f=(x(1),\cdots,x(n))$ ，对于 $n=|V|$ 。称L就是图的拉普拉斯函数，其本质是用来量化结点光滑性的一个函数。
另一方面令 $(M,g)$ 是一个n维黎曼流形，也就是光滑流形。g是一个映射为每个流形上的点x在对应的切空间 $T_xM$ 指定的内积运算 $(\cdot,\cdot)_{g_x}$ 。接下来我们考虑量化函数g的光滑性，一个很自然的想法就是求函数在x点处梯度的平方范数 $\left \| \bigtriangledown f\right \|^2$ ，同样写成二次型的形式 $f\bigtriangledown \bigtriangledown f$ 与图对应。然后，对流形上所有点做积分 $\int_{M}{\left \| \bigtriangledown f(x) \right \|^2dx}$ ，就得到了对M光滑性的函数度量，这个量被称为迪利克雷能量，它的作用类似于图中定义的拉普拉斯函数，其本质是迪利克雷能量的泛函导数。

以上两种解释都不是从图和流形的定义出发的讨论，接下来我们通过定义的方式印证我们的结论。

首先还是图，通常我们用邻接矩阵A来定义图的拉普拉斯函数L=D-A，其中D是结点度的对角矩阵，写成归一化的拉普拉斯函数为 $L=I-D^{-1/2}AD^{-1/2}$ ，该定义与我们定义的 $f^TLf$ 是等价的。并且，拉普拉斯函数的一些基本性质在L=D-A的定义中反而不够明显，比如L是半正定的就可以通过二次型明显看出。

另一方面流形，通常在多变量微积分中，拉普拉斯函数被定义为 $\Delta f=-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{\partial^2f}{\partial y^2}-\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$ ，这与我们在 $\mathbb{R}^n$ 中定义的 $\left \| \bigtriangledown f\right \|^2$ 是等价的。这种基于坐标的定义也可以推广到具有度量张量g的黎曼流形的局部坐标，此时使用指数映射就可以完成从邻域空间到切空间的局部微分同构。