一篇文章帮你搞懂：f(x)存在、f‘(x)存在、原函数（不定积分）存在、定积分存在

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1、f(x)存在

2、f'(x)存在

3、原函数（不定积分）存在定理

4、定积分存在定理

（1）f(x)在一点极限存在 ≠> f(x)在这一点连续

（2）f(x)存在 ≠> f(x)有介质性

（3）f(x)可导 + $\lim_{x->\, x0}f'(x)=a$ => f'(x)在x0连续

证明：

（1）f'(x)存在 => f'(x)有介质性（达布定理）

达布定理：

证明：

（2）f'(x)存在 ≠ 0 => f'(x)必保号！

（3）f'(x)在[a,b]上存在 => 无第一类间断点（可去、跳跃）

（也可以反过来说：第一类间断点的导数必不存在！）

这一条我详细说明一下：

跳跃间断点：在该点的左右极限都存在，但是不相等

f(x0)和a+、a-的关系不确定，可能等于其中某一个，那么导数不存在；也可以和两个都不相等，导数也不存在。

可去间断点：

（1）连续函数f(x)必有原函数F(x)

（2）区间上有可去、跳跃、无穷间断点，一定没有原函数F(x)

（注：震荡间断点不一定，需具体分析）

（1）f(x)在[a,b]上连续 => $\int_{a}^b{}f(x)dx$ 存在

（2）f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点 => $\int_{a}^b{}f(x)dx$ 存在

（3）f(x)在[a,b]上单调 => $\int_{a}^b{}f(x)dx$ 存在

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