苹果放盘子的问题(动态规划)

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把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
数据范围：0<=m<=10，1<=n<=10。

import java.util.*;
public class Main{public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()){int m = sc.nextInt();int n = sc.nextInt();System.out.println(solve(m,n));}}public static int solve(int m, int n){// 入参校验 当只有一个苹果或一个盘子的时候 只有一种摆法if(m == 1 || n == 1){return 1;}if(m <= 0 || n <= 0){// 入参校验, 当没有苹果,或没有盘子的时候, 没法摆return 0;}int res =0;// step1for(int i = 0; i <= n; i++){res += notEmpty(m, n - i);}return res;}public static int notEmpty(int m, int n){if(n == 1) return 1;if(m == 1) return 1;if(m < n) return 0;if(m == n) return 1;// step2return solve(m - n , n);}
}

对本题中的step1 和 step2 进行详细分析.

本题中,主要采用动态规划的思路.将大问题拆分成小问题,最终小问题结果的和就是大问题的结果.在本题的拆分中,主要涉及到两个关键的拆分点, 第一: 拆分盘子. 第二: 拆分苹果.

• step1 拆分盘子
  由step1 下的for循环显而易见, 是将盘子依次减少达到拆分的目的.
  1. 为什么盘子要逐渐减少?
     例: 假设当前有 5个 苹果 3个盘子. 则本题即为将5 个苹果放入 3个盘子中的问题.
     穷举列出所有结果:

	由表格分析, 可将大问题拆分为3种情况.- 5个苹果只放 1 个盘子- 5个苹果放且只放2个盘子- 5个苹果放且只放3个盘子这也是step2的拆分依据.
3. 盘子减少后的结果是否与原结果相同?根据上述分析可知, 盘子拆分后. 结果依然相同. 5个苹果随机放3个盘子. 与 上述3种情况相加的结果相同.

• step2 拆分苹果
  如何拆分苹果?
  只举例分析一种（5个苹果放且只放两个盘子的情况）
  首先已知前提， 5个苹果必须放到两个盘子中（盘子中放几个苹果都可以，但是必须要有两个盘子中有苹果）。
  那么我们可以假设这两个盘子中已经各有1个苹果(为了满足已知前提)。
  则 我们还剩下三个苹果需要放到两个盘子中去。

  此时！！！ 问题已经变成了三个苹果 两个盘子的问题。！！！！！！
  就是代码中的 return solve(m - n , n); 这个逻辑。

  你品， 你细品。 step2依赖于step1， 所以step2需要满足step1的前提。 同时，step2又将问题重新转换为更小的新的问题。 而更小的新的问题，又从step1重头来过。
  看这个代码需要理解这两个拆分的逻辑， 如果你能理解，那么豁然开朗。闭着眼睛都能解决这个问题。