数学建模_自来水管铺设问题

数学建模_自来水管铺设问题

题目：在村村通自来水工程实施过程中，从保证供水质量以及设备维护方便角度出发，某地区需要建设一个中心供水站，12个一级供水站和168个二级供水站，各级供水站的位置坐标如表1所示，其中类型A表示中心供水站，类型V代表一级供水站，类型P为二级供水站。图1是各级供水站的地理位置图。现在要将中心供水站A处的自来水通过管道输送到一级供水站和二级供水站。按照设计要求，从中心站A铺设到一级供水站的管道为I型管道，从一级供水站出发铺设到二级供水站的管道为II型管道。

问题一：根据各个供水站的坐标计算各点之间的欧式距离得到对应的距离矩阵，再利用Prim算法分别求得Ⅰ型管道和Ⅱ型管道的最小生成树，将其合并。为了去除合并过程中可能产生的回路，考虑中心供水站与一级供水站之间的最小生成树已为最优，应使其保留完整；然后利用Prim算法得到总体的最小生成树即为最终的铺设方案。通过MATLAB求得Ⅰ型管道总里程数为120.9412公里，Ⅱ型管道的总里程数为405.6407公里，铺设总里程数为526.5819公里。

问题二：在问题一的基础上采用穷举法进行循环遍历，共种组合，比较遍历的最小生成树中Ⅱ型管道的里程数，选出最小值所对应的组合即为最终升级的两个二级供水站。利用MATLAB求解得到升级的二级供水站为和，铺设Ⅱ型管道总里程最小为394.2375公里，相较问题一减少了11.4032公里。

问题三：在问题一的最小生成树的基础上，采用试探法进行二级供水站最优升级位置的选取，首先计算得到不升级二级供水站不满足题目要求，然后从升级一个二级供水站开始试探。通过比较方差大小确定升级的二级供水站。继续升级时，在确定的一级供水站的基础上继续升级，直至满足每个一级供水站管道输送总里程小于40公里的限制条件。利用MATLAB计算得到需升级这7个二级供水站，此对应的铺设总里程最少是529.1359公里。

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